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【3】 赤い箱に赤玉が個,白玉が個入っています.白い箱には,赤玉が個,白玉が個入っています.第回目の試行では,赤い箱から玉を個取り出して,赤い箱に戻します.この第回目の試行で赤玉を取り出した場合は,第回目の試行で赤い箱から玉を個取り出して赤い箱に戻します.また第回目の試行で白玉を取り出した場合は,第回目の試行で白い箱から玉を個取り出して白い箱に戻します.以下,同様の試行を繰り返します.すなわち,第回目の試行で赤玉を取り出した場合には,第回目の試行で赤い箱から玉を個取り出して赤い箱に戻し,第回目の試行で白玉を取り出した場合には,第回目の試行で白い箱から玉を個取り出して白い箱に戻します.
第回目の試行で赤が出る確率をとするとき,に関する漸化式
が成立します.このことから
であることがわかります.そして,第回目から第回目までに赤玉が取り出される回数の期待値は
となります.