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【3-2】 与えられた個の数字の中に,があるかないかを判定するプログラムを考える.一つでもが見つかれば終了し,また見つからないときはそのことを報告するようにしたい.
個の数字を配列 A(1)
から A(4)
に読み込み,これらがに等しいか否かを順に判定すればよい.ここで一工夫して,あらかじめ配列 A(5)
にを入れておき,配列 A(1)
から A(5)
が,A(5)
に等しいか否かを判定するようにする.このようにしておくと,A(1)
から A(4)
にがなかったときは,A(5)
でが見つかることになる.このようにしてプログラムの終了を導くとき,A(5)
を番兵と呼ぶ.
この考え方にしたがって,を読み込んだときの次のプログラムを完成させなさい.このとき,処理の結果として,J
の値が表示される.
10 REM 1
を探す
11 DIM A(5)
12 FOR I = 1 TO
13 READ A(I)
14 NEXT I
15 A(5) =
16 J =
17 IF A(J) = A(5) THEN GOTO
18 J = J +
19 GOTO
20 IF J = 5 THEN GOTO
21 PRINT " FOUND IN " , J
22 GOTO
23 PRINT " NOT FOUND "
24 END
25 DATA 7 , 3, 5 , 1
【4】 解答欄のからには,次の選択肢から最も適切なものを選び,その番号を解答欄に答えなさい.また,解答欄のからには,計算の結果を答えなさい.
選択肢
の順列においてを満たすの個数を,その順列の数という.数がとなる順列の個数をと書く.このを計算してみよう.
いま,の順列で数がとなるものが見つかったとする.このときを満たすをに置き換える.そして,番目の数をとすれば,の順列となり,その数はである.また,順列で数がとなるものが見つかったとする.このとき,を満たすをに置き換え,番目の数をとするか,あるいは番目をとすることにより,数がのの順列が得られる.このことから関係式
を得る.同様にして,不等号の向きを逆にして,順列の数を定義する.
さて,順列に対して,逆の順列を,のとき,となるように定義する.たとえば,順列の逆の順列はである.与えられた順列の数がであるとき,逆の順列の数はである.これより
がわかる.たとえば
である.
【5】 解答欄のからには,次の選択肢から最も適切なものを選び,その番号を解答欄に答えなさい.
選択肢
関数が
を満たすとき,ある定数が存在してと書けることを証明しよう.ただし,のとき,と仮定する.
最初に自然数に対して
を示す.はを個加えたものだから,を繰り返して用いれば,となる.ここで再びを繰り返して用いれば,となる.よって式が得られた.
ここでに対して
であるとしてみよう.このとき
を満たす自然数が存在する.
実際,仮定よりであり,は,原点と点を結ぶ線分が,とを結ぶ線分の側にあることを意味する.ここであるいはその延長と直線の交点の座標をとする.このときがとの間になるように,自然数を選べば,を用いて式が成り立つことがわかる.
ところでを用いれば
であるから,に矛盾する.
としても,同様に矛盾を導くことができる.よって
が得られた.は任意に選べるので,求める結果が導かれた.