2003　上智大学　文，法学部2月7日実施MathJax

【１】　$a\text{，}b$は整数とする．$x$の整式$P\text{，}Q$が

$P+Q=x^2+2x+a+b$

$P^2+Q^2=x^4+2x^3+(2b+2)x^2+(2a+2b)x+2a+4$

をみたしている．

(1)　積$PQ$は$x$の$\boxed{\text{ア}}$次式である．

(2)　$a\text{，}b$は関係式

$a^2+b^2+\boxed{\text{イ}}a+\boxed{\text{ウ}}b+\boxed{\text{エ}}=0$

をみたす．

(3)　$a\text{，}b$は整数であるので，$a\text{，}b$の組$(a,b)$は全部で$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(4)　$P$が$Q$で割り切れるとき，

$P=\boxed{\text{カ}}{x}^2+\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}$

$Q=\boxed{\text{ケ}}{x}^2+\boxed{\text{コ}}x+\boxed{\text{サ}}$

である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は正の実数とする．$xy$平面上の$4$点

$\mathrm{A}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})\text{，}\mathrm{B}(-b,{\displaystyle \frac{1}{b}})\text{，}\mathrm{C}(-c,-{\displaystyle \frac{1}{c}})\text{，}\mathrm{D}(d,-{\displaystyle \frac{1}{d}})$

を考える．四角形が凸四角形であるとは，すべての内角が$180°$より小さいことをいう．

(1)　$b={\displaystyle \frac{1}{3}}\text{，}c={\displaystyle \frac{7}{3}}\text{，}d=2$のとき，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が$1$つの凸四角形の頂点となるための必要十分条件は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}<a<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{または}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}<a$

である．

(2)　$c=1\text{，}d={\displaystyle \frac{1}{2}}$のとき，どのような正の実数$a$に対しても，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が$1$つの凸四角形の頂点となるための必要十分条件は

$\boxed{\text{ツ}}\leqq b<\boxed{\text{テ}}$

である．

(3)　$b={\displaystyle \frac{1}{a}}\text{，}c=a\text{，}d={\displaystyle \frac{1}{a}}$のとき，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積$S$は

$\boxed{\text{ト}}(a^{\boxed{\text{ナ}}}+a^{\boxed{\text{ニ}}})$

である．ただし，$\boxed{\text{ナ}}>\boxed{\text{ニ}}$とする．$a=\boxed{\text{ヌ}}$のとき，$S$は最小値$\boxed{\text{ネ}}$をとる．

【３】　$xy$平面上の$4$点$(1,1)\text{，}(-1,1)\text{，}(-1,-1)\text{，}(1,-1)$を頂点とする正方形の各辺が鏡でできているとする．このとき原点$\mathrm{O}$にある光源から点$(m,n)$に向かって光を放つ．ただし，$m\text{，}n$は正の整数とする．光は正方形の各辺では正しく反射されるが，$4$つの頂点では反射されずに吸収されてしまう．

　例えば点$(2,1)$に向かって光を放つと，右図のように$3$回反射されたのちに原点に戻ってくる．しかし点$(1,3)$に向かって光を放つと，右図のように点$(1,-1)$で吸収される．

(1)　点$(3,2)$に向かって光を放つ．光が初めて原点に戻ってくるまでに，$x$軸に平行な辺で$\boxed{\text{ノ}}$回，$y$軸に平行な辺で$\boxed{\text{ハ}}$回反射される．

(2)　点$(5,3)$に向かって光を放つ．光が点$(\boxed{\text{ヒ}},\boxed{\text{フ}})$で吸収されるまでに，$x$軸に平行な辺で$\boxed{\text{ヘ}}$回，$y$軸に平行な辺で$\boxed{\text{ホ}}$回反射される．

(3)　光が$7$回反射されて初めて原点に戻ってくるとき，${\displaystyle \frac{n}{m}}$のとり得る値は全部で$\boxed{\text{マ}}$通りある．

(4)　$m\text{，}n$を互いに素な奇数とする．点$(m,n)$に向かって光を放つと，光は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}m+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}n+\boxed{\text{ヤ}}$

回反射されたのち，ある頂点で吸収される．