2003　上智大学　経済(経営)学部2月8日実施MathJax

【１】

(1)　$1$枚の硬貨を$10$回連続して投げる．第$n$投目に表が出れば$X_n=1\text{，}$裏が出れば$X_n=0$として$X={\displaystyle \sum _{n=1}^{10}}{X}_n$とおく．このとき，$X$が偶数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$であり，$X$が$4$の倍数となる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$である．

【１】

(2)　自然数$n$について

${\displaystyle {\int }_0^1\sum _{k=1}^n}(x+k)(x+k-1)dx={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}{n}^3+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}{n}^2+\boxed{\text{ケ}}n+\boxed{\text{コ}}$

である．

【１】

(3)　$x$についての整式

$(x-a){(x-2)}^2+(x-b){(x-1)}^2+(x-c)x^2$

を$x-1$で割ると$1$余り，${(x-2)}^2$で割ると$2x-3$余る．このとき，$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}}\text{，}b=\boxed{\text{ス}}\text{，}c={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

【２】　自然数全体の集合を$\mathrm{N}$とする．$3$で割りきれる$\mathrm{N}$の要素全体の集合を$\mathrm{A}\text{，}5$で割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合を$\mathrm{B}\text{，}7$で割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合を$\mathrm{C}$とする．$\boxed{\text{あ}}\text{，}\boxed{\text{い}}\text{，}\boxed{\text{う}}\text{，}\boxed{\text{え}}$には下の選択肢の中から正しいものを選べ．

(1)　$15$で割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合は$\boxed{\text{あ}}$である．

(2)　$15$でも$21$でも割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合は$\boxed{\text{い}}$である．

(3)　$15$または$7$で割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合は$\boxed{\text{う}}$である．

(4)　$15$または$21$で割り切れる$\mathrm{N}$の要素全体の集合は$\boxed{\text{え}}$である．

選択肢：

• (a)　$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}$
• (b)　$\mathrm{B}\cup \mathrm{C}$
• (c)　$\mathrm{C}\cup \mathrm{A}$
• (d)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}$
• (e)　$\mathrm{B}\cap \mathrm{C}$
• (f)　$\mathrm{C}\cap \mathrm{A}$
• (g)　$\mathrm{A}\cap \mathrm{B}\cap \mathrm{C}$
• (h)　$\mathrm{A}\cup \mathrm{B}\cup \mathrm{C}$
• (i)　$(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})\cup \mathrm{C}$
• (j)　$(\mathrm{A}\cup \mathrm{B})\cap \mathrm{C}$
• (k)　$(\mathrm{A}\cap \mathrm{C})\cup \mathrm{B}$
• (l)　$(\mathrm{A}\cup \mathrm{C})\cap \mathrm{B}$
• (m)　$\mathrm{A}\cup (\mathrm{B}\cap \mathrm{C})$
• (n)　$\mathrm{A}\cap (\mathrm{B}\cup \mathrm{C})$

【３】(1)　$0°\leqq \alpha <90°$とする．$\tan (2\alpha -45°)=-{\displaystyle \frac{1}{7}}$であるとき，

$\tan 2\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}\text{，}\tan \alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}}\text{，}\tan 3\alpha ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．

(2)　$-15°\leqq \theta \leqq 90°$のとき，$x=\cos \theta +\sin \theta$の最大値は$\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}\text{，}$最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ヌ}}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

　$y={\cos }^3\theta +{\sin }^3\theta$を$x$の式で表すと，

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}{x}^3+\boxed{\text{ハ}}{x}^2+\boxed{\text{ヒ}}x+\boxed{\text{フ}}}{2}}$

である．したがって，$y$の最大値は$\boxed{\text{ヘ}}$であり，最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}}$である．