2003　上智大学　経済(経済)学部2月11日実施MathJax

【１】　円$S:x^2+y^2=4$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\sqrt{3})\text{，}\mathrm{B}(\sqrt{3},-1)$がある．$\mathrm{O}$を原点とする．

(1)　三角形$\mathrm{AOB}$において$\angle \mathrm{AOB}=\boxed{\text{ア}}°$である．

(2)　点$\mathrm{A}$における円$S$の接線と点$\mathrm{B}$における円$S$の接線との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{C}$の$x$座標は$\boxed{\text{イ}}+\boxed{\text{ウ}}\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$である．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$内に，点$\mathrm{D}$を三角形$\mathrm{ABD}$が正三角形となるようにとる．$\mathrm{D}$の$x$座標は$\boxed{\text{オ}}+\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$である．

(4)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通る直線の方程式は$y=\boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}$である．

(5)　不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq \boxed{\text{キ}}x+\boxed{\text{ク}}+\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}\\ x^2+y^2\leqq 4\end{array}$

で表される領域の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}\pi +\boxed{\text{シ}}$である．

【２】　放物線$C:y=x^2-2$と$x$軸上の点${\mathrm{P}}_0(a_0,0)$が与えられている．$a_0=2$とする．直線$x=a_0$と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_0$とする．${\mathrm{Q}}_0$における$C$の接線を$l$とする．$l$が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_1(a_1,0)$とする．直線$x=a_1$と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_1$とする．${\mathrm{Q}}_1$を通り$l$に平行な直線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_2(a_2,0)$とする．以下次々にこれを繰り返す．すなわち，点${\mathrm{P}}_k(a_k,0)$が定まったとき直線$x=a_k$と$C$との交点を${\mathrm{Q}}_k$とし，${\mathrm{Q}}_k$を通り$l$に平行な直線が$x$軸と交わる点を${\mathrm{P}}_{k+1}(a_{k+1},0)$とする．このとき$l$の方程式は

$y=\boxed{\text{ス}}x+\boxed{\text{セ}}$であり，$a_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$

である．また

$a_k-a_{k+1}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}{a_k}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$

であり，

${\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k+{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_{k+1}=(\boxed{\text{ナ}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}})({a_k}^2+\boxed{\text{ネ}})$

となる．したがって，$n$を自然数とするとき

${\displaystyle \sum _{k=0}^n}({\mathrm{P}}_k{\mathrm{Q}}_k+{\mathrm{Q}}_k{\mathrm{P}}_{k+1})=(\boxed{\text{ノ}}+\sqrt{\boxed{\text{ハ}}})(\boxed{\text{ヒ}}-a_{n+1})$

である．

【３】　$a>0\text{，}c$を定数とし

$f(x)=3{\displaystyle {\int }_0^x}(t^2-a^2)dt+c$

とする．

(1)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲でつねに$f(x)\geqq 0$となる条件は

$\begin{array}{lll}0<a\leqq \boxed{\text{フ}}& \text{のとき}& c\geqq \boxed{\text{ヘ}}{a}^3\\ \boxed{\text{フ}}\leqq a& \text{のとき}& c\geqq \boxed{\text{ホ}}{a}^2+\boxed{\text{マ}}\end{array}$

である．

(2)　$0\leqq x\leqq 1$の範囲で$f(x)\geqq 0$となる$x$が存在する条件は

$\begin{array}{lll}0<a\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}}{\boxed{\text{ム}}}}& \text{のとき}& c\geqq \boxed{\text{メ}}{a}^2+\boxed{\text{モ}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}}{\boxed{\text{ム}}}}\leqq a& \text{のとき}& c\geqq \boxed{\text{ヤ}}\end{array}$

である．