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2003-13363-0801
2003 上智大学 理工学部
数・物理・電気電子工学科
電気電子工学科は【2】
2月12日実施
易□ 並□ 難□
【1】 x⁢y= 1, x>0 で決まる xy 平面の曲線を C ,x⁢ y=1 , x<0 で決まる曲線を D とし, a>1 とする. C 上の点 P ( a, 1a ) に最も近い D 上の点を Q ( b, 1b ) ,Q に最も近い C 上の点を R (c , 1c ) とする.
(1) b= ア⁢ a イ ウ である.
(2) 線分 PR と曲線 C で囲まれる部分の面積を S とすると
S= 12⁢ ( a エ オ -a - エ オ ) -log⁡ a カ キ
である.
(3) R0= R とおく.曲線 C 上の点 R 1 を,その点での C の接線の傾きが線分 P R0 の傾きに等しくなるように定める.以下帰納的に曲線 C 上の点 Rn を,その点での C の接線の傾きが,線分 P Rn-1 の傾きに等しくなるように定める. Rn の x 座標 xn を R の x 座標 c を用いて x n=c tn と表すと
tn= ク2 ケ ⁢n + コ
2003-13363-0802
電気電子工学科【3】の類題
【2】 ソ , タ には下記の選択肢の中から適当なものを選んで,その番号で答えよ.
列ベクトル
x=( x 1 x2 ), Y=( y 1 y2 )
に対して,
AX ,Y= ( x1 y1 x 2y 2 ), ΔX, Y= x1⁢ y2- y1⁢ x2
と定義する.
(1) 行列
B=( a bc d )
に対して
ΔX, B⁢Y +ΔB ⁢X,Y =Δ X,Y ⁢( サ⁢ a+ シ⁢ b+ ス⁢ c+ セ⁢ d)
(2) ΔX, B⁢Y +ΔB ⁢X,Y =0 であり,行列 A X,Y が逆行列をもつものとする.このとき
B2= ( ソ タ タ ソ )
である.さらに B の成分はすべて整数があって
ソ=1 ,0 ≦a≦3 ,b ⁢c≠0
であるとする.このような行列 B は チ 通りある.
選択肢:
2003-13363-0803
数・物理学科
電気電子工学科【4】の類題
【3】 赤,青,緑の玉がそれぞれ 2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す.ただし取り出した玉はもとに戻さないものとする.
(1) 一方の人が 6 個の玉を全部取り出す取り出し方は, ツ 通りある.ただし同じ色の玉は区別しない.
(2) 2 人の 1 回目に取り出した玉の色が同じであったとき, 2 人の 2 回目に取り出す玉の色がまた同じである確率は テ ト である.
(3) 2 人の 1 回目に取り出した玉の色が異なっていたとき, 2 人の 2 回目に取り出す玉の色が同じである確率は ナ ニ である.
(4) 1 回目も 2 回目も 2 人の取り出した玉の色が同じであったとき, 3 回目もまた同じである確率は ヌ ネ である.
2003-13363-0804
【4】 ある光源が xy 平面の原点に置かれている.平面上の点 ( r⁢ cos⁡α, r⁢sin⁡ α) ( r> 0,| α|≦ π) には, |α |≦ π 4 ならば光があたっていてその明るさは
1 r2 ⁢cos ⁡2⁢α
であり, |α |> π 4 ならば光はあたっていない.
この平面の,点 A( -1,0 ) を中心とする半径 a (a >1 ) の円周上を,点 P が一定の速さで反時計回りに動いていて,単位時間あたり a だけ進んでいる.時刻 t= -t0 のときに点 P に光があたり始め, t=0 のとき (a- 1,0) の位置にあり, t=t 0 のときに光があたらなくなったとする.
(1) t0 は次の式をみたす.
sin⁡ ( ノ ハ ⁢π -t0 ) = 1 ヒ ⁢ a フ
ただし 0< ノ ハ < 12 とする.
(2) 時刻 t のとき,原点と点 P を結ぶ直線が x 軸となす角を α とすると
a⁢sin⁡ ( ヘ⁢ α- t)=sin ⁡( ホ⁢ α+ マ⁢ t)
(3) |t| ≦t0 のとき,時刻 t における点 P の位置の明るさは次の式で与えられる.
1 (1 +a2 -2⁢a ⁢cos⁡t )2 ⁢ ( ミ⁢ a2 ⁢cos2 ⁡t+ ム⁢ a⁢ cos⁡t+ メ ⁢a 2+ モ⁢ a+ ヤ)
2003-13363-0805
電気電子工学科
【1】 複素数平面上の 3 点 z1 , z2 ,z3 と, 0<t< 1 をみたす実数 t を考える. z1 と z2 を t: 1-t に内分する点を z4 とし, z4 と z3 を t: 1-t に内分する点を Zt で表す.
(1) z1= 0, z2= 1, z3= i のとき, t が 0< t<1 の範囲を動くときの Zt の軌跡を求め,複素数平面上に図示せよ.
(2) α ,β を複素数とする.ただし α≠ 0 とする.複素数平面上の点 z に対し,
f⁡(z )=α⁢ z+β
とおく. wi= f⁡(z i) ( i=1 ,2 ,3 ) とし, z1 ,z2 , z3 から Zt を定めたのと同様にして w 1, w2 , w3 から Wt を定める.このとき, f⁡( Zt ) の軌跡と Wt の軌跡が一致することを示せ.
(3) Zt= x+y⁢ i と表したとき,その軌跡が
y= 12⁢ x2 ( -1 <x<1 )
となるような z1 , z2 ,z3 を求めよ.
2003-13363-0806
数・物理学科【2】の類題
【3】 ソ , タ には下記の選択肢の中から適当なものを選んで,その番号で答えよ.
2003-13363-0807
数・物理学科【3】の類題
【4】 赤,青,緑の玉がそれぞれ 2 個ずつ入った中の見えない袋がある. 2 人の人がそれぞれこのような袋を持ち 1 回に 1 個ずつ玉を取り出す.ただし取り出した玉はもとに戻さないものとする.