2003　上智大学　理工(数・物・電)学部2月12日実施MathJax

【１】　$xy=1\text{，}x>0$で決まる$xy$平面の曲線を$C\text{，}xy=1\text{，}x<0$で決まる曲線を$D$とし，$a>1$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{1}{a}})$に最も近い$D$上の点を$\mathrm{Q}(b,{\displaystyle \frac{1}{b}})\text{，}\mathrm{Q}$に最も近い$C$上の点を$\mathrm{R}(c,{\displaystyle \frac{1}{c}})$とする．

(1)　$b=\boxed{\text{ア}}{a}^{\frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}$である．

(2)　線分$\mathrm{PR}$と曲線$C$で囲まれる部分の面積を$S$とすると

$S={\displaystyle \frac{1}{2}}(a^{\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}}-a^{-\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}})-\log a^{\frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}}}$

である．

(3)　${\mathrm{R}}_0=\mathrm{R}$とおく．曲線$C$上の点${\mathrm{R}}_1$を，その点での$C$の接線の傾きが線分$\mathrm{P}{\mathrm{R}}_0$の傾きに等しくなるように定める．以下帰納的に曲線$C$上の点${\mathrm{R}}_n$を，その点での$C$の接線の傾きが，線分$\mathrm{P}{\mathrm{R}}_{n-1}$の傾きに等しくなるように定める．${\mathrm{R}}_n$の$x$座標$x_n$を$\mathrm{R}$の$x$座標$c$を用いて$x_n=c^{t_n}$と表すと

$t_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{2^{\boxed{\text{ケ}}n}}}+\boxed{\text{コ}}$

である．

【２】　$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$には下記の選択肢の中から適当なものを選んで，その番号で答えよ．

　列ベクトル

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

に対して，

$A_{X,Y}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)\text{，}{\Delta }_{X,Y}=x_1{y}_2-y_1{x}_2$

と定義する．

(1)　行列

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

に対して

${\Delta }_{X,BY}+{\Delta }_{BX,Y}={\Delta }_{X,Y}(\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}b+\boxed{\text{ス}}c+\boxed{\text{セ}}d)$

である．

(2)　${\Delta }_{X,BY}+{\Delta }_{BX,Y}=0$であり，行列$A_{X,Y}$が逆行列をもつものとする．このとき

$B^2=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ソ}}& \boxed{\text{タ}}\\ \boxed{\text{タ}}& \boxed{\text{ソ}}\end{array}\right)$

である．さらに$B$の成分はすべて整数があって

$\boxed{\text{ソ}}=1\text{，}0\leqq a\leqq 3\text{，}bc\ne 0$

であるとする．このような行列$B$は$\boxed{\text{チ}}$通りある．

選択肢：

• (1).　$0$，
• (2).　$1$，
• (3).　$-1$ ，
• (4).　$bc+a^2$，
• (5).　$-bc-a^2$，
• (6).　$bc-a^2$，
• (7).　$-bc+a^2$

【３】　赤，青，緑の玉がそれぞれ$2$個ずつ入った中の見えない袋がある．$2$人の人がそれぞれこのような袋を持ち$1$回に$1$個ずつ玉を取り出す．ただし取り出した玉はもとに戻さないものとする．

(1)　一方の人が$6$個の玉を全部取り出す取り出し方は，$\boxed{\text{ツ}}$通りある．ただし同じ色の玉は区別しない．

(2)　$2$人の$1$回目に取り出した玉の色が同じであったとき，$2$人の$2$回目に取り出す玉の色がまた同じである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　$2$人の$1$回目に取り出した玉の色が異なっていたとき，$2$人の$2$回目に取り出す玉の色が同じである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．

(4)　$1$回目も$2$回目も$2$人の取り出した玉の色が同じであったとき，$3$回目もまた同じである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}}$である．

【４】　ある光源が$xy$平面の原点に置かれている．平面上の点$(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )\text{（}r>0\text{，}|\alpha |\leqq \pi \text{）}$には，$|\alpha |\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ならば光があたっていてその明るさは

${\displaystyle \frac{1}{r^2}}\cos 2\alpha$

であり，$|\alpha |>{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ならば光はあたっていない．

　この平面の，点$\mathrm{A}(-1,0)$を中心とする半径$a\text{（}a>1\text{）}$の円周上を，点$\mathrm{P}$が一定の速さで反時計回りに動いていて，単位時間あたり$a$だけ進んでいる．時刻$t=-t_0$のときに点$\mathrm{P}$に光があたり始め，$t=0$のとき$(a-1,0)$の位置にあり，$t=t_0$のときに光があたらなくなったとする．

(1)　$t_0$は次の式をみたす．

$\sin ({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}\pi -t_0)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}}}{a}^{\boxed{\text{フ}}}$

ただし$0<{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}}<{\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．

(2)　時刻$t$のとき，原点と点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が$x$軸となす角を$\alpha$とすると

$a\sin (\boxed{\text{ヘ}}\alpha -t)=\sin (\boxed{\text{ホ}}\alpha +\boxed{\text{マ}}t)$

である．

(3)　$|t|\leqq t_0$のとき，時刻$t$における点$\mathrm{P}$の位置の明るさは次の式で与えられる．

${\displaystyle \frac{1}{{(1+a^2-2a\cos t)}^2}}(\boxed{\text{ミ}}{a}^2{\cos }^{2}t+\boxed{\text{ム}}a\cos t+\boxed{\text{メ}}{a}^2+\boxed{\text{モ}}a+\boxed{\text{ヤ}})$

【１】　複素数平面上の$3$点$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$と，$0<t<1$をみたす実数$t$を考える．$z_1$と$z_2$を$t:1-t$に内分する点を$z_4$とし，$z_4$と$z_3$を$t:1-t$に内分する点を$Z_t$で表す．

(1)　$z_1=0\text{，}{z}_2=1\text{，}{z}_3=i$のとき，$t$が$0<t<1$の範囲を動くときの$Z_t$の軌跡を求め，複素数平面上に図示せよ．

(2)　$\alpha \text{，}\beta$を複素数とする．ただし$\alpha \ne 0$とする．複素数平面上の点$z$に対し，

$f(z)=\alpha z+\beta$

とおく．$w_i=f(z_i)\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$とし，$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$から$Z_t$を定めたのと同様にして$w_1\text{，}{w}_2\text{，}{w}_3$から$W_t$を定める．このとき，$f(Z_t)$の軌跡と$W_t$の軌跡が一致することを示せ．

(3)　$Z_t=x+yi$と表したとき，その軌跡が

$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2\text{（}-1<x<1\text{）}$

となるような$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$を求めよ．

【３】　$\boxed{\text{ソ}}\text{，}\boxed{\text{タ}}$には下記の選択肢の中から適当なものを選んで，その番号で答えよ．

　列ベクトル

$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\text{，}Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$

に対して，

$A_{X,Y}=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)\text{，}{\Delta }_{X,Y}=x_1{y}_2-y_1{x}_2$

と定義する．

(1)　行列

$B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

に対して

${\Delta }_{X,BY}+{\Delta }_{BX,Y}={\Delta }_{X,Y}(\boxed{\text{サ}}a+\boxed{\text{シ}}b+\boxed{\text{ス}}c+\boxed{\text{セ}}d)$

である．

(2)　${\Delta }_{X,BY}+{\Delta }_{BX,Y}=0$であり，行列$A_{X,Y}$が逆行列をもつものとする．このとき

$B^2=\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ソ}}& \boxed{\text{タ}}\\ \boxed{\text{タ}}& \boxed{\text{ソ}}\end{array}\right)$

である．

選択肢：

• (1).　$0$，
• (2).　$1$，
• (3).　$-1$ ，
• (4).　$bc+a^2$，
• (5).　$-bc-a^2$，
• (6).　$bc-a^2$，
• (7).　$-bc+a^2$

【４】　赤，青，緑の玉がそれぞれ$2$個ずつ入った中の見えない袋がある．$2$人の人がそれぞれこのような袋を持ち$1$回に$1$個ずつ玉を取り出す．ただし取り出した玉はもとに戻さないものとする．

(1)　一方の人が$6$個の玉を全部取り出す取り出し方は，$\boxed{\text{ツ}}$通りある．ただし同じ色の玉は区別しない．

(2)　$2$人の$1$回目に取り出した玉の色が同じであったとき，$2$人の$2$回目に取り出す玉の色がまた同じである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$である．

(3)　$2$人の$1$回目に取り出した玉の色が異なっていたとき，$2$人の$2$回目に取り出す玉の色が同じである確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}}$である．