2003　上智大学　理工(数)学部2月12日実施MathJax

【１】(1)　$k$を実定数とする．実数$x\text{，}y$が$x+2y=k$をみたすとき，$x^2+2y^2$の最小値を求めよ．

(2)　$2$変数関数

$f(x,y)={\displaystyle \frac{x+2y+3}{x^2+2y^2+3}}$

の最大値を求めよ．

【２】　$xy$平面上の原点$\mathrm{O}(0,0)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{A}(0,1)\text{，}\mathrm{P}(a,b)$を考える．ただし$a>0\text{，}b>0$とする．$0<k<1$とする．

(1)　線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線が直線$y=k$と交わる点を$\mathrm{Q}$としその$x$座標を$u$とするとき$u$を$a\text{，}b\text{，}k$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{APQ}$が正三角形であるとき，$k$を$a\text{，}b$の$1$次式を表せ．

【３】　$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(x_1,y_1)\text{，}\mathrm{Q}(x_2,y_2)$に対して

$d(\mathrm{P},\mathrm{Q})=\{\begin{array}{cc}|x_1-x_2|& \text{（}|x_1-x_2|\geqq |y_1-y_2|\text{のとき）}\\ |y_1-y_2|& \text{（}|y_1-y_2|>|x_1-x_2|\text{のとき）}\end{array}$

とおく．$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(0,2)$を考える．

(1)　$d(\mathrm{O},\mathrm{P})=3$であるような点$\mathrm{P}$の集合を図示せよ．

(2)　$d(\mathrm{A},\mathrm{P})=3$であるような点$\mathrm{P}$の集合を図示せよ．

(3)　$d(\mathrm{O},\mathrm{P})=d(\mathrm{A},\mathrm{P})$であるような点$\mathrm{P}$の集合を図示せよ．