2003　東京理科大学　理工学部B方式2月4日実施

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　正の実数$x$に対して，$20\leqq {\log }_{10}x<21$のとき，$x$の整数部分は$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$桁の数である．また${\log }_{10}3$の値として$0.4771$を使うと，$2.7=3^{\boxed{\text{ウ}}}\times {10}^{-\boxed{\text{エ}}}$より，${\log }_{10}2.7$の値は$0.\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}\text{ク}}$となる．整数$n$に対して${2.7}^n$の整数部分が$10$桁の数となるのは$\boxed{\text{ケ}\text{コ}}\leqq n\leqq \boxed{\text{サ}\text{シ}}$のときである．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　定積分

$I={\displaystyle {\int }_1^4}{t}^2\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}t\sqrt{t})dt$

の値を求めたい．$t\sqrt{t}=x$とおくと${\displaystyle \frac{dx}{dt}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\sqrt{t}$であり，

$I={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}{\displaystyle {\int }_{\boxed{\text{ツ}}}^{\boxed{\text{チ}}}}x\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}x)dx$

となる．また不定積分${\displaystyle \int }x\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}x)dx$は$C$を積分定数として

$-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\pi }}x\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}x)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}\text{ナ}}}{{\pi }^2}}\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{4}}x)+C$

となるので，$I$の値は

$I={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}({\displaystyle \frac{\sqrt{2}-\boxed{\text{ネ}\text{ノ}}}{\pi }}-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ハ}}\sqrt{2}}{{\pi }^2}})$

と求められる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{ラ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において$2$つの放物線$C_1:y=2x^2$と$C_2:y=7x^2$を考える．$t>0$に対して$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,2t^2)$をとる．原点と異なる$C_2$上の点$\mathrm{Q}$を，$2$直線$\mathrm{OP}\text{，}\mathrm{OQ}$が垂直になるようにとると，点$\mathrm{Q}$の座標は

である．さらに，線分$\mathrm{QP}$を$2:7$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$t$が正の実数を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡は放物線

$y=\boxed{\text{マ}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ミ}}}{\boxed{\text{ム}}}}$

となる．$\mathrm{R}$の$y$座標は$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{メ}}}{\boxed{\text{モ}}}}$のとき最小になり，このとき直線$\mathrm{PQ}$の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヤ}}}{\boxed{\text{ユ}}}}x+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヨ}}}{\boxed{\text{ラ}}}}$

となる．

【２】　複素数平面上に点$\mathrm{P}$がある．$\mathrm{P}$が複素数$z$にあるとき，サイコロを$1$回投げて出た目の数が$m\text{（}m=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}6\text{）}$ならば，$\mathrm{P}$を$z^m$に移す．サイコロを$1$回投げるごとに$\mathrm{P}$を上の操作で移していく．最初$\mathrm{P}$は$i$にあるとして，サイコロを$n$回投げた後に$\mathrm{P}$が$1\text{，}i\text{，}-1\text{，}-i$にある確率をそれぞれ$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$とする．

(1)　$p_1\text{，}{q}_1\text{，}{r}_1\text{，}{s}_1$を求めよ．

(2)　$q_{n+1}\text{，}{s}_{n+1}$を$q_n$と$s_n$を用いて表せ．

(3)　$q_n+s_n$と$q_n-s_n$を求めて，$q_n\text{，}{s}_n$を決定せよ．

(4)　$r_n$を求め，次に$p_n$を求めよ．また，$n\to \infty$のときの$p_n\text{，}{q}_n\text{，}{r}_n\text{，}{s}_n$それぞれの極限を求めよ．

【３】　定数$a\text{，}b$に対して$f(t)=a{e}^{at}\text{，}g(t)=b{e}^{bt}$とし

$S={\displaystyle {\int }_0^1}(f(t)+g(t))dt\text{，}T={\displaystyle {\int }_0^1}(f(t)-g(t))dt$

とおく．

(1)　$S\text{，}T$を$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　$a\text{，}b$が$S^2+T^2=8$を満たしながら動くとき

$x=e^a-1\text{，}y=e^b-1$

で定まる$xy$平面上の点$\mathrm{P}(x,y)$の軌跡を求めよ．

(3)　$a\text{，}b$が$S^2+T^2=8$を満たしながら動くとき，$S^2-T^2$のとる値の範囲を求めよ．