2003　東京理科大学　理工学部B方式2月5日実施MathJax

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(1)　$2$つの曲線$C_1:y=\sin x\text{，}{C}_2:y=\cos x\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$を考える．$C_1$と$C_2$の交点の$x$座標は${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{ア}}}}$と${\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}}}}\pi$であり，$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積は$\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}$である．またこの図形の$y\geqq 0$にある部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積は${\displaystyle \frac{\pi }{\boxed{\text{カ}}}}(\pi +\boxed{\text{キ}})$となる．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(2)　自然数$a\text{，}b$に対し，$a\diamond b$は$a$と$b$の公約数の個数を表すものとする．例えば，$6$と$10$の公約数は$1$と$2$の$2$つだから$6\diamond 10=2$となる．また$8\diamond 12=\boxed{\text{ク}}$となる．

以下$c$は$100$以下の自然数とする．

　$c\diamond 15=2$となる$c$の個数は$\boxed{\text{ケ}\text{コ}}$である．

　$c\diamond 20=2$となる$c$の個数は$\boxed{\text{サ}\text{シ}}$であり，

　$c\diamond 20=4$となる$c$の個数は$\boxed{\text{ス}}$である．

【１】　次の文章中の$\boxed{\text{ア}}$から$\boxed{\text{マ}}$までに当てはまる数字$0$〜$9$を求めて，解答用マークシートの指定された欄にマークしなさい．

(3)　複素数平面上に$2$点${\mathrm{P}}_1(z_1)\text{，}{\mathrm{P}}_2(z_2)$がある．原点$\mathrm{O}$と${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2$の$3$点は同一直線上にないものとする．線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_1$を$3:1$に内分する点を${\mathrm{Q}}_1(w_1)\text{，}$線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_2$を$3:2$に内分する点を${\mathrm{Q}}_2(w_2)\text{，}$さらに${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_2$と${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_1$との交点を$\mathrm{H}(z)$とする．$\mathrm{H}$が${\mathrm{P}}_1{\mathrm{Q}}_2$を$t:1-t$に，${\mathrm{P}}_2{\mathrm{Q}}_1$を$s:1-s$に内分するとして$z$を$z_1\text{，}{z}_2$を用いて表すと

$z=(1-t)z_1+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}t{z}_2={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}s{z}_1+(1-s)z_2$

となる．このとき$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}\text{ト}}}}$となるので

$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}\text{ヌ}}}}(\boxed{\text{ネ}}{z}_1+z_2)$

と表される．いま，$z_1=3i$として，${\mathrm{P}}_2(z_2)$が中心$\mathrm{C}(3+5i)\text{，}$半径$2$の円周上を動くとき，点$\mathrm{H}(z)$は

中心${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}\text{ヒ}}}}+\boxed{\text{フ}}i\text{，}$半径${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヘ}}}{\boxed{\text{ホ}\text{マ}}}}$

の円周上を動く．

【２】　関数$f(x)$を

$f(x)=e^{-3x}\sin 4x$

と定める．また$c$を定数として$g(x)=e^{-3x}\sin (4x+c)$とおく．以下必要ならば定数$\alpha$を

$\cos \alpha =-{\displaystyle \frac{3}{5}}\text{，}\sin \alpha ={\displaystyle \frac{4}{5}}$

を満たすものとして用いてよい．

(1)　$g(x)$の導関数$g^{\prime }(x)$を求めよ．

(2)　$g^{\prime }(x)$が$f(x)$の定数倍になるように$c$を定めて不定積分

${\displaystyle \int }f(x)dx$

を求めよ．

(3)　$f(x)\geqq 0$となる$x$の範囲を求めよ．

(4)　$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれた図形の

${\displaystyle \frac{n}{2}}\pi \leqq x\leqq {\displaystyle \frac{n+1}{2}}\pi \text{，}y\geqq 0$

の部分にある面積$S_n$を求めよ．さらに$\underset{k\to \infty }{\lim }{\displaystyle \sum _{k=0}^k}{S}_n$を求めよ．

【３】　両端が放物線$y=x^2$の上にある線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}b$とし，$\mathrm{P}$の座標を$(p,q)$とする．

(1)　$p$および$q$を，$a$と$b$を用いて表せ．

(2)　積$ab$を，$p$と$q$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の長さが$4$であるとき$q$を$p$の式で表せ．

(4)　線分$\mathrm{AB}$が長さを$4$に保って動くとき，$q$の最小値と，そのときの$p$の値を求めよ．