2003　東京理科大学　理工学部B方式2月6日実施MathJax

(a)　$a+b+c=n$となる$(a,b,c)$の個数を$F(n)$とする．$n=4$のとき，$(a,b,c)$は$(2,1,1)\text{，}(1,2,1)\text{，}(1,1,2)$の$3$つで$F(4)=3$である．また，$F(6)=\boxed{\text{ア}\text{イ}}\text{，}F(9)=\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$である．

(b)　$100a+10b+c$が$3$の倍数で，$a+b+c\leqq 9$となる$(a,b,c)$の個数は$\boxed{\text{オ}\text{カ}}$である．

$\overrightarrow{\mathrm{QP}}=(\boxed{\text{キ}}t-\boxed{\text{ク}})\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=(t-\boxed{\text{ケ}})\overrightarrow{a}-(\boxed{\text{コ}}t-\boxed{\text{サ}})\overrightarrow{b}$

となる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$の長さが最小になるのは$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}\text{セ}}}}$のときで，その長さは${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\sqrt{\boxed{\text{タ}\text{チ}}}}}$である．また，$\overrightarrow{\mathrm{QP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$が直交するのは$t={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{ツ}}}}$と$t={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}}$のときである．

$\boxed{\text{ナ}}-\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}<p<\boxed{\text{ヌ}}+\sqrt{\boxed{\text{ネ}}}\cdots \text{①}$

となる場合である．このとき$2$つの交点の$x$座標を$\alpha \text{，}\beta \text{（}\alpha <\beta \text{）}$とすると

${(\beta -\alpha )}^2=-p^2+\boxed{\text{ノ}}p+\boxed{\text{ハ}}$

となる．また，$2$つの放物線$C_1$と$C_2$で囲まれた図形の面積を$S$とすると

$\begin{array}{cc}S& =-\boxed{\text{ヒ}}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }}(x-\alpha )(x-\beta )dx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\boxed{\text{フ}}}}{(\beta -\alpha )}^3\end{array}$

となる．これより$p$が$\text{①}$の範囲を動くとき$S$が最大となるのは$p=\boxed{\text{ヘ}}$のときで，そのとき$S$は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ホ}}}{\boxed{\text{マ}}}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}$である．

$f(x)=x^3-3x^2+9|x-a|+1$

を考える．

(1)　$x>a$の範囲で$f(x)$は増加することを示せ．

(2)　実数全体で$f(x)$が増加するための$a$の条件を求めよ．

(3)　$x\geqq -1$の範囲での$f(x)$の最小値を$m$とするとき，$m$を$a$を用いて表せ．

(4)　上の最小値$m$が$-3$となる$a$の値を求めよ．

$f(x)={\displaystyle \frac{\log x}{x}}\text{（}x>0\text{）}$

(1)　関数$f(x)$の増減，凹凸を調べよ．

(2)　$4$以上の整数$k$に対して次の不等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_k^{k+1}}f(x)dx<f(k)<{\displaystyle {\int }_{k-1}^k}f(x)dx$

(3)　正の整数$n$に対して，定積分${\displaystyle {\int }_n^{2n+1}}f(x)dx$を求めよ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{\log n}}{\displaystyle \sum _{k=n}^{2n}}{\displaystyle \frac{\log k}{k}}$を求めよ．