2003　東京理科大学　工学部B方式2月8日実施MathJax

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(1)　複素数平面上の点について以下の問いに答えなさい．ただし，$i$は虚数単位とする．

(a)　点$5+3i$を中心とする$90\mathrm{°}$の回転によって，点$2+5i$は点$\boxed{\text{ア}}+\boxed{\text{イ}}i$に移される．

(b)　点$\mathrm{A}(1+\sqrt{3}i)$と点$\mathrm{B}(4+2\sqrt{3}i)$を頂点とする正三角形の残りの頂点は点$\mathrm{C}(\boxed{\text{ウ}}+\boxed{\text{エ}}\sqrt{\boxed{\text{オ}}}i)$または点$\mathrm{D}(\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}i)$である．

(c)　三角形$\mathrm{ACD}$の外接円の中心は点$\boxed{\text{ク}}+\boxed{\text{ケ}}\sqrt{\boxed{\text{コ}}}i$である．

(d)　原点と点$\mathrm{A}$を通る直線が，三角形$\mathrm{ACD}$の外接円と交わる点は$\mathrm{A}$および点$\boxed{\text{サ}}+\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}i$である．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(2)　ある高校では，夏休みのある日に英語，数学，物理，化学の$4$科目の補習をクラス単位で行なうことにした．教える先生は各科目に$1$人ずつ，計$4$人おり，どの先生も補習の対象の各クラスに対して$1$時間ずつ授業をする．ただし，$1$人の先生が複数のクラスに対して同時に授業することはないものとする．

(a)　補習の対象が$\mathrm{A}$組だけの場合，以下の表に$4$つの科目を$1$時間ずつ割り当てる方法は全部で$\boxed{\text{ア}\text{イ}}$通りある．

(b)　補習の対象が$\mathrm{A}$組，$\mathrm{B}$組の$2$クラスの場合で以下の表のように$\mathrm{A}$組に英語，数学，物理，化学の順で授業をするとき，$\mathrm{B}$組に$4$つの科目を$1$時間ずつ割り当てる方法は全部で$\boxed{\text{ウ}\text{エ}}$通りある．

(c)　補習の対象が$\mathrm{A}$組と$\mathrm{B}$組の$2$クラスの場合，以下の表において，各クラスに$4$つの科目を$1$時間ずつ割り当てる方法は全部で$\boxed{\text{オ}\text{カ}\text{キ}}$通りある．

(d)　(c)において英語の先生が$1$時間目に授業をしないように割り当てる方法は全部で$\boxed{\text{ク}\text{ケ}\text{コ}}$通りある．

【１】　次の(1)，(2)，(3)においては，$\boxed{}$内の$1$つのカタカナに$0$から$9$までの数字が$1$つあてはまる．その数字を解答用マークシートにマークしなさい．

(3)　実数$x$を越えない最大の整数を記号$[x]$で表す．例えば，$[3.2]=3\text{，}[5]=5$である．これを用いて式

$a_n=a_{n-1}+[\sqrt{a_{n-1}}]\text{（}n\geqq 1\text{）}$

で定義される数列$\{a_n\}$を考える．ただし$a_0=m^2$（$m$は自然数の定数）とする．

(a)　項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}{a}_4$を求めると

$a_1=m^2+\boxed{\text{ア}}m+\boxed{\text{イ}}$

$a_2=m^2+\boxed{\text{ウ}}m+\boxed{\text{エ}}$

$a_3=m^2+\boxed{\text{オ}}m+\boxed{\text{カ}}$

$a_4=m^2+\boxed{\text{キ}}m+\boxed{\text{ク}}$

である．

以下，(b)，(c)においては$m=9$とする．

(b)　項$a_1\text{，}{a}_2\text{，}\cdots \text{，}{a}_{20}$について，

$[\sqrt{a_{2k+1}}]=\boxed{\text{ケ}}k+\boxed{\text{コ}}$

$[\sqrt{a_{2k+2}}]=\boxed{\text{サ}}k+\boxed{\text{シ}}$

および

$a_{2k+1}=\boxed{\text{ス}}{k}^2+\boxed{\text{セ}\text{ソ}}k+\boxed{\text{タ}\text{チ}}$

$a_{2k+2}=\boxed{\text{ツ}}{k}^2+\boxed{\text{テ}\text{ト}}k+\boxed{\text{ナ}\text{ニ}}$

が成り立つ．ただし$0\leqq k\leqq 9$とする．

(c)　$n\geqq 1$である項$a_n$の中で，$\sqrt{a_n}$が最初に整数になるのは$n=\boxed{\text{ヌ}\text{ネ}}$のときであり，その次に整数になるのは$n=\boxed{\text{ノ}\text{ハ}}$のときである．

【２】

(1)　曲線$y=x\log (3-x)$と$x$軸とで囲まれた部分の面積を求めなさい．

【２】

(2)　原点$(0,0,0)$を$\mathrm{O}$とする座標空間において，点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(2,1,0)\text{，}\mathrm{C}(3,4,1)$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．

(a)　点$\mathrm{P}(x,y,z)$について，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}$となる実数$r\text{，}s\text{，}t$を$x\text{，}y\text{，}z$で表しなさい．

(b)　点$\mathrm{P}$が平面$\alpha$上にあるとき，$x\text{，}y\text{，}z$が満たす方程式を求めなさい．

(c)　点$(4,5,7)$を$\mathrm{D}$とする．平面$\alpha$上の点$\mathrm{H}$が$\mathrm{DH}\perp \mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DH}\perp \mathrm{BC}$を満たすとき，$\mathrm{H}$の座標を求めなさい．

【３】　原点$(0,0)$を$\mathrm{O}$とする座標平面において，放物線$x^2+4y=4$上の点$\mathrm{P}(t,1-{\displaystyle \frac{t^2}{4}})\text{（}t>0\text{）}$における接線を$l$とし，$l$と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．

(1)　接線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　三角形$\mathrm{ABO}$の面積を$t$の関数として表しなさい．

(3)　$t$を$t>0$の範囲で動かすとき，三角形$\mathrm{ABO}$の面積の最小値を求めなさい．

(4)　線分$\mathrm{AB}$の長さを$l$の関数として表しなさい．

(5)　$t$を$t>0$の範囲で動かすとき，線分$\mathrm{AB}$の長さの最小値を求めなさい．