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2003-13442-0701
2003 東京理科大学 工学部B方式
工業化,経営工,機械工学科
2月9日実施
(1)〜(3)合わせて配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1),(2),(3)においては, 内の 1 つのカタカナには 0 から 9 までの数字の 1 つが,英文字 p , q には符号 + (プラス)または - (マイナス)の 1 つがあてはまる.その数字または符号を解答用マークシートにマークしなさい.
(1) 座標平面において,円 x 2+y 2=2 の接線で,直線 y= 12 ⁢ x+5 とのなす角が 45 ° であるのは,
p ア ⁢ x+ y=± イ ⁢ ウ
または
q ⁢ x+ エ ⁢ y= ± オ ⁢ カ
である.
2003-13442-0702
(2) 行列 A= ( ab cd ) に対して, 4 つの成分 a , b ,c ,d をそれぞれ 0 , 1 ,2 , 4 の中から重複を許して選ぶ.
(a) a ,b ,c ,d の選び方は全部で ア イ ウ 通りある.
(b) A⁢( 1 -1 )= ( xy ) とする.このとき, x≧0 かつ y ≧0 となるような a , b ,c , d の選び方は全部で エ オ カ 通りある.
(c) 行列 A が逆行列を持つような a , b ,c ,d の選び方は全部で キ ク ケ 通りある.
2003-13442-0703
(3) x に関する 2 次方程式 x 2-6⁢ (m- 4)⁢ x+3⁢ (m2 -6⁢ m+10) =0 の 2 つの解を α , β とする. α ,β が
|α |+ |β |= 6
を満たすのは, m= ア または m= p ⁢ イ + ウ のときである.
2003-13442-0704
(1)〜(2)合わせて配点25点
【2】(1) 曲線 y= (2⁢ x+1) ⁢2⁢ x+1 の区間 0≦ x≦ 13 にある部分の長さを求めなさい.
2003-13442-0705
【2】(2) 座標空間において,点 A (3 ,-3, 2) を通り,ベクトル d→= (6, 4,3 ) に平行な直線を l とする.また, x 軸上に点 B を線分 AB が直線 l に垂直になるようにとり, y 軸上に点 C を線分 AC が直線 l に垂直になるようにとる.
(a) 点 A との距離が 1 である直線 l 上の点の座標を求めなさい.
(b) 点 B , C の座標を求めなさい.
(c) 3 点 A , B ,C を通る平面と z 軸との交点の座標を求めなさい.
2003-13442-0706
(1)〜(3)合わせて配点25点
【3】 図のような ▵OPQ において, ∠P の 2 等分線が辺 OQ と交わる点を R とし, ▵OPR の面積を S1 ,▵ QPR の面積を S 2 とする.
(1) ベクトル a →= PO→ ,b→ =PQ→ とおく.このとき PR →=α ⁢a→ +β⁢ b→ となる実数 α , β を | a→ | , | b→ | を用いて表しなさい.また, S 2S1 を | a→ | , | b→ | を用いて表しなさい.
以下,座標平面において, ▵OPQ の頂点 O を原点 (0 ,0) とし,また t> 0 に対して頂点 P を ( t,t2 ) , 頂点 Q を ( t2, 0) とする.
(2) S 2S1 を t を用いて表しなさい.
(3) 極限値 lim n→∞ ⁡ S 2S1 を求めなさい.
(4) t を t >0 の範囲で動かすとき, S 2S1 の最小値およびそのときの t の値を求めなさい.