Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
2003年度一覧へ
大学別一覧へ
理科大一覧へ
2003-13442-1101
2003 東京理科大学 理学部B方式
情報数理科,応用物理,応用化学科
2月13日実施
(1)〜(4)合わせて配点35点
易□ 並□ 難□
【1】 次の(1)から(4)において, 内のカタカナにあてはまる 0 から 9 までの数字を求めて,その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ.
(1) 等差数列 a 1=1 ,a2 =5 ,a3 =9 ,⋯ が,次のように第 k 群が 2 k 個の項を含むように分けられているとする.
15 | 9 13 17 21| 25 29 33 37 41 45 49 53| 57⋯
たとえば, 33 は第 9 項の数であり,第 3 群の 3 番目の数である.
(a) この数列の一般項は a n= ア ⁢ n- イ である.
(b) 第 10 群の最後の数は ウ エ オ カ となる.
(c) 997 は第 キ ク ケ 項の数で,第 コ 群の サ シ ス 番目の数になる.
2003-13442-1102
(1)〜(4)合わせて配点40点
(2) 1 個のサイコロを 1 回目に A が投げ, 2 回目に B が投げ,以下,この順番で A ,B が交互にサイコロを投げる.このとき,先に 1 または 2 の目を出した者を勝者とする.
(a) 3 回目に A が勝つ確率は セ ソ タ である.
(b) 2⁢n- 1 回目までに A が勝つ確率を p n とするとき,
limn→ ∞⁡ pn= チ ツ
となる.
2003-13442-1103
(3) 次の複素数 z について考える.ただし, i は虚数単位である.
z= 1+cos⁡ t+i⁢ sin⁡t 1-cos⁡ t-i⁢ sin⁡t ( 0<t< 2⁢π )
(a) 0<t< π における z の偏角を弧度法で表すと テ (符号 ) ト ナ ⁢ π になる.
(b) ∫ π2π | z| ⁢dt= log⁡ ニ となる.ただし,対数は自然対数である.
2003-13442-1104
(4) 座標空間の 2 点 A (1 ,1,- 1) ,B (0 ,2,1 ) を通る直線を l , 2 点 C ( 2,1, 1) ,D ( 3,0, 2) を通る直線を m とし, l 上に点 P , m 上に点 Q をとる.点 P と点 Q の座標がそれぞれ
P( ヌ ネ , ノ ハ , ヒ ), Q ( フ , ヘ , ホ )
となるとき,線分 PQ の長さは最小になり,その最小値は マ 2 である.
2003-13442-1105
配点30点
【2】 a ,b ,c を定数とし,行列 A= ( ac 21 ) とする.ただし, b≠0 とする. n ,m は自然数として,以下の問いに答えよ.
(1) 行列 A が A 2-6 ⁢A+9 ⁢E=O を満たしているとき, a ,c の値を求めよ.ただし, E は単位行列, O は零行列である.
(2) P=( b -3-b b -b ), B=( b c0 b ) とする.このとき,(1)で求めた a , c について, A⁢P= P⁢B となる b の値を求めよ.
(3) (1),(2)で定めた b , c について, Bn を求めよ.
(4) (1)で定めた a , c について, An を求めよ.
(5) (4)で定めた A n を ( pn qn rn sn ) とおく.このとき,
∑ n=1 m⁡ {( pn+ rn) -(q n+s n) }
を求めよ.
2003-13442-1106
【3】 2 つの曲線
C1: y=a⁢ ex- 2+b
C2: y=log⁡ x
には,その両方に接する異なる 2 直線 l 1 ,l2 があり, l1 と C 2 の接点 P の座標は ( 1,0 ) であるとする.ただし, e は自然対数の底, a ,b は定数で a >0 ,a≠ e である.
(1) 直線 l 1 と曲線 C 1 の接点 Q の座標を ( x0, y0 ) とするとき, b ,x0 , y0 を a で表せ.
(2) 直線 l 2 の方程式を a で表せ.また, l2 と C 1 ,C2 との接点をそれぞれ R , S とするとき, R ,S の座標を a で表せ.
(3) 2 直線 l 1 ,l2 の交点の座標を a で表せ.
(4) 2 点 P , Q 間の距離が 2 のとき, a の値 α 1 ,α2 を求めよ.ただし, α1 <α 2 とする.
(5) a=α 1 のとき,曲線 C 1 と 2 直線 l 1 ,l2 とで囲まれた図形の面積を求めよ.