2003　東京理科大学　理学部B方式2月13日実施MathJax

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(1)　等差数列$a_1=1\text{，}{a}_2=5\text{，}{a}_3=9\text{，}\cdots$が，次のように第$k$群が$2^k$個の項を含むように分けられているとする．

$15|9131721|2529333741454953|57\cdots$

たとえば，$33$は第$9$項の数であり，第$3$群の$3$番目の数である．

(a)　この数列の一般項は$a_n=\boxed{\text{ア}}n-\boxed{\text{イ}}$である．

(b)　第$10$群の最後の数は$\boxed{\text{ウ}\text{エ}\text{オ}\text{カ}}$となる．

(c)　$997$は第$\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}$項の数で，第$\boxed{\text{コ}}$群の$\boxed{\text{サ}\text{シ}\text{ス}}$番目の数になる．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(2)　$1$個のサイコロを$1$回目に$\mathrm{A}$が投げ，$2$回目に$\mathrm{B}$が投げ，以下，この順番で$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が交互にサイコロを投げる．このとき，先に$1$または$2$の目を出した者を勝者とする．

(a)　$3$回目に$\mathrm{A}$が勝つ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}\text{タ}}}}$である．

(b)　$2n-1$回目までに$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p_n$とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n={\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}}$

となる．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(3)　次の複素数$z$について考える．ただし，$i$は虚数単位である．

$z={\displaystyle \frac{1+\cos t+i\sin t}{1-\cos t-i\sin t}}\text{（}0<t<2\pi \text{）}$

(a)　$0<t<\pi$における$z$の偏角を弧度法で表すと$\underset{(\text{符号})}{\boxed{\text{テ}}}{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナ}}}}\pi$になる．

(b)　${\displaystyle {\int }_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }}|z|dt=\log \boxed{\text{ニ}}$となる．ただし，対数は自然対数である．

【１】　次の(1)から(4)において，$\boxed{}$内のカタカナにあてはまる$0$から$9$までの数字を求めて，その数字を解答用マークシートの所定欄にマークせよ．

(4)　座標空間の$2$点$\mathrm{A}(1,1,-1)\text{，}\mathrm{B}(0,2,1)$を通る直線を$l\text{，}2$点$\mathrm{C}(2,1,1)\text{，}\mathrm{D}(3,0,2)$を通る直線を$m$とし，$l$上に点$\mathrm{P}\text{，}m$上に点$\mathrm{Q}$をとる．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の座標がそれぞれ

$\mathrm{P}({\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}},{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ノ}}}{\boxed{\text{ハ}}}},\boxed{\text{ヒ}})\text{，}\mathrm{Q}(\boxed{\text{フ}},\boxed{\text{ヘ}},\boxed{\text{ホ}})$

となるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは最小になり，その最小値は${\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{マ}}}}{2}}$である．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を定数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ 2& 1\end{array}\right)$とする．ただし，$b\ne 0$とする．$n\text{，}m$は自然数として，以下の問いに答えよ．

(1)　行列$A$が$A^2-6A+9E=O$を満たしているとき，$a\text{，}c$の値を求めよ．ただし，$E$は単位行列，$O$は零行列である．

(2)　$P=\left(\begin{array}{cc}b& -3-b\\ b& -b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}b& c\\ 0& b\end{array}\right)$とする．このとき，(1)で求めた$a\text{，}c$について，$AP=PB$となる$b$の値を求めよ．

(3)　(1)，(2)で定めた$b\text{，}c$について，$B^n$を求めよ．

(4)　(1)で定めた$a\text{，}c$について，$A^n$を求めよ．

(5)　(4)で定めた$A^n$を$\left(\begin{array}{cc}{p}_n& q_n\\ r_n& s_n\end{array}\right)$とおく．このとき，

${\displaystyle \sum _{n=1}^m}\{(p_n+r_n)-(q_n+s_n)\}$

を求めよ．

【３】　$2$つの曲線

$C_1:y=a{e}^{x-2}+b$

$C_2:y=\log x$

には，その両方に接する異なる$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$があり，$l_1$と$C_2$の接点$\mathrm{P}$の座標は$(1,0)$であるとする．ただし，$e$は自然対数の底，$a\text{，}b$は定数で$a>0\text{，}a\ne e$である．

(1)　直線$l_1$と曲線$C_1$の接点$\mathrm{Q}$の座標を$(x_0,y_0)$とするとき，$b\text{，}{x}_0\text{，}{y}_0$を$a$で表せ．

(2)　直線$l_2$の方程式を$a$で表せ．また，$l_2$と$C_1\text{，}{C}_2$との接点をそれぞれ$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$とするとき，$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$の座標を$a$で表せ．

(3)　$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$の交点の座標を$a$で表せ．

(4)　$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$間の距離が$\sqrt{2}$のとき，$a$の値${\alpha }_1\text{，}{\alpha }_2$を求めよ．ただし，${\alpha }_1<{\alpha }_2$とする．

(5)　$a={\alpha }_1$のとき，曲線$C_1$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_2$とで囲まれた図形の面積を求めよ．