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【1】 図のように,半径の円が,原点を中心とする半径の円に内接しながらすべらずに回転するとき,円の周上に固定された点の軌跡を考える.円の中心をとし,線分が軸の正の部分となす角をとする.
最初,円は円に点で内接し,点と円の中心はそれぞれ点と点の位置にあるものとする.
(1) 円の接点をとするとき,をとおく.をを用いて表せ.
(2) 点が円の周上にくるときのの値を,の範囲ですべて求めよ.
(3) 図において,点の座標をとする.をを用いて表せ.
(4) において,となることを示せ.
(5) 点が点の位置に戻ってくるまでに描く曲線をとする.その概形を解答用紙の座標平面に描け.
(6) (5)で定めた曲線の長さを求めよ.
【2】 回の試行で事象か事象のどちらかがそれぞれ確率確率で起こるとし,この試行を繰り返し回行なう().
(1) とし,次の事象を考える.
またはが起こるという事象の確率を求めよ.
(2) 回中が偶数回起こるという事象を考え,その確率をで表す.は偶数であるからである.このときとなることを,に関する数学的帰納法で証明せよ.
(3) のとき,回中がちょうど回起こる確率をで表す.
(a) をの式で表せ.
(b) 数列についてを求めよ.
(4) とするとき,が続いて起こることのない確率を求めたい.最初に(a)に答え,続いて(a)をヒントしにして,(b)に答えよ.
(a) 個のと個のを一列に並べる並べ方のうち,が隣り合うことのない並べ方が通りあるとし,の値を求めたい.まず,を個一列に並べておく.最初のの前,と次のの間,最後のの後,の全部で箇所のうち,箇所にを個ずつ置くという考え方がある.この考え方によって,の値を求めよ.
(b) 確率を求めよ.