2003　早稲田大学　スポーツ科学部MathJax

【１】次の各問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{O}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{T}\text{，}\mathrm{S}$の$6$文字を一列に並べる．このとき，同じ文字が隣り合わない並べ方の総数を$n$とすると，$n-200=\boxed{\text{ア}}$である．

【１】次の各問いに答えよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(2,1)\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=(1,3)$に対し，$2$つのベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

（ただし，$s\text{，}t$は$0\leqq s\text{，}0\leqq t\text{，}1\leqq s+t\leqq 2$の範囲を動く），

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u\overrightarrow{\mathrm{OA}}+v\overrightarrow{\mathrm{OB}}$

（ただし，$u\text{，}v$は$1\leqq u\leqq 2\text{，}-3\leqq v\leqq -1$の範囲を動く）

を考える．点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が動く領域の面積をそれぞれ$D_1\text{，}{D}_2$とするとき，${\displaystyle \frac{D_2}{D_1}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{イ}}}{3}}$である．

【１】次の各問いに答えよ．

(3)　$i$を虚数単位とし，$z={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-i}{1+i}}$とする．$z$を極形式

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

で表すと，

　$r=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}\text{，}\theta -270\mathrm{°}=\boxed{\text{エ}}\mathrm{°}$である．ただし，$0\mathrm{°}\leqq \theta <360\mathrm{°}$とする．また，$w=z^{12}$とすると，$w+100=\boxed{\text{オ}}$である．

【１】次の各問いに答えよ．

(4)　斜辺の長さが$4$の直角二等辺三角形がある．この三角形の周上に$4$頂点を持つ長方形の面積の最大値は$\boxed{\text{カ}}$である．面積が最大となる長方形は全部で$\boxed{\text{キ}}$個ある．

【２】　大，中，小$3$個のサイコロを投げた．出た$3$個の目すべての積を$X$とおく．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　$X$が奇数となる場合の数は$\boxed{\text{ク}}$である．

(2)　$X$が$5$の倍数でない数となる場合の数を$a$とすると$a-100=\boxed{\text{ケ}}$である．

(3)　$X$が$5$の倍数でない奇数となる場合の数は$\boxed{\text{コ}}$である．

(4)　$X$が$10$の倍数となる場合の数を$b$とすると$b-50=\boxed{\text{サ}}$である．

【３】　$xy$平面において，$x$座標，$y$座標が共に整数であるような点$\mathrm{P}(x,y)$を格子点と呼ぶ．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)　自然数$n$に対し，不等式

$0\leqq y\leqq 2x(2n-x)$

で表される領域を$D_n$とおく．$D_n$の面積$E(n)$を$E(n)={\displaystyle \frac{a\times n^b}{3}}$と表したとき，

$a=\boxed{\text{シ}}\text{，}b=\boxed{\text{ス}}$

である．

(2)　$D_n$の内部または境界にある格子点すべての個数を$C(n)$とする．$C(n)$を$C(n)={\displaystyle \frac{\alpha \times n^{\beta }+\gamma \times n+\delta }{3}}$と表したとき，

$\alpha =\boxed{\text{セ}}\text{，}\beta =\boxed{\text{ソ}}\text{，}\gamma =\boxed{\text{タ}}\text{，}\delta =\boxed{\text{チ}}$

である．

(3)　$E(n)\text{，}C(n)$に対し，不等式

${\displaystyle \frac{C(n)-1}{E(n)}}<{\displaystyle \frac{40001}{40000}}$

を満たす最小の自然数$n$を$m$と表したとき，$m-100=\boxed{\text{ツ}}$である．

【４】　初項$a_1=1$である数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$2S_n=a_{n+1}-3^n$が成り立つという．次の各問いに答えよ．

(1)　$a_n$を用いて$a_{n+1}$を

$a_{n+1}=A\times a_n+B\times C^{n-1}$

と表したとき，$A=\boxed{\text{テ}}\text{，}B=\boxed{\text{ト}}\text{，}C=\boxed{\text{ナ}}$である．

(2)　$b_n=a_n\times 3^{-n}$とおくと，数列$\{b_n\}$は初項${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{3}}\text{，}$公差${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌ}}}{9}}$の等差数列になる．したがって，一般項$a_n$を

$a_n=D^{n+E}\times (F\times n+1)$

と表したとき，$D=\boxed{\text{ネ}}\text{，}E=\boxed{\text{ノ}}\text{，}F=\boxed{\text{ハ}}$である．