2003　早稲田大学　理工学部MathJax

【１】　$a\text{，}b$を正の整数とし，

$f(x)=x^4+a{x}^3+(a+b)x^2+(2-a)x+1$

とおく．$4$次方程式$f(x)=0$の解がすべて絶対値$1$の複素数であるとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)=0$のどの解も実数ではないことを示せ．

(2)　$a\text{，}b$を求めよ．

(3)　$f(x)=0$の四つの解を頂点とする，複素数平面上の四角形の面積を求めよ．

【２】　$0\text{，}1\text{，}2$をいくつか並べてできる配列に対して，次の変換を考える：

左から順に調べ，初めて$11$が現れたとき，それを$02$に置き換える．

$n$桁の配列$\mathrm{P}$に対して，この変換を可能な限り繰り返し，最終的に得られる配列を$\bar{\mathrm{P}}$とする．たとえば，$8$桁の配列$\mathrm{P}=00111110$に対しては

$00111110\to 00021110\to 00020210$

のようにして，$2$回の変換で$\bar{\mathrm{P}}=00020210$が得られる．$0$と$1$のみからなる$n$桁の配列$\mathrm{P}$のうち，$\bar{\mathrm{P}}$の右端の桁が$2$となるものの個数を$a_n$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)　$a_4-a_2\text{，}{a}_5-a_3$を求めよ．ただし，結論のみでよい．

(2)　$n\geqq 4$のとき，$a_n-a_{n-2}$を求めよ．

(3)　$a_{2m}$を求めよ．ただし，$m$は正の整数とする．

【３】　変数$\theta$は$0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲を動くとする．点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta )$における単位円の接線を$l$とし，$\mathrm{P}$との距離が$\theta$である$l$上の$2$点のうち，原点と$\mathrm{P}$を通る直線に関して点$\mathrm{A}(1,0)$と同じ側にある点を$\mathrm{Q}(x,y)$とする． $\theta$が上の範囲を動くとき$\mathrm{Q}$の描く曲線と，$x$軸，$y$軸，および直線$y=1$とで囲まれる図形の面積を$S$とする．以下の問に答えよ．

(1)　$x\text{，}y$を$\theta$で表せ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^{\frac{\pi }{2}}}ydx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^1}xdy$をそれぞれ$\theta$を変数とする定積分で表せ．

(3)　$S$を求めよ．

【４】　空間内の$6$点$(\pm 1,0,0)\text{，}(0,\pm 1,0)\text{，}(0,0,\pm 1)$を頂点とする正八面体$T$と，原点$\mathrm{O}$を中心とし，$\mathrm{O}$から$T$の辺の中点までの距離を半径とする球$S$を考える．$T$と$S$との共通部分を$A\text{，}T$のうち$S$に含まれない部分を$B\text{，}S$のうち$T$に含まれない部分を$C$とする．$A\text{，}B\text{，}C$の体積をそれぞれ$a\text{，}b\text{，}c$で表すとき，以下の問に答えよ．

(1)　$b$と$c$の大小を比較せよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c$の大小を比較し，大きい順に並べよ．

【５】　放物線$y={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$のうち，$0\leqq x\leqq 1$の部分を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，原点$\mathrm{O}$から$\mathrm{P}$までの$C$の部分の長さを$s$で表す．$x$と$y$を$s$の関数とみなして$x=f(s)\text{，}y=g(s)$とおくとき，以下の問に答えよ．

(1)　${\{f^{\prime }(s)\}}^2+{\{g^{\prime }(s)\}}^2$の値を求めよ．

(2)　次の等式を示せ．

$f^{″}(s)=-{\displaystyle \frac{1}{{(1+{\{f(s)\}}^2)}^{\frac{3}{2}}}}{g}^{\prime }(s)\text{，}{g}^{″}(s)={\displaystyle \frac{1}{{(1+{\{f(s)\}}^2)}^{\frac{3}{2}}}}{f}^{\prime }(s)$．

(3)　$\mathrm{P}$における$C$の法線上にあり，$\mathrm{P}$との距離が正の定数$a$である$2$点のうち，$C$の下側にあるものを$\mathrm{Q}(v,w)$とする．$v\text{，}w$を$f(s)\text{，}g(s)\text{，}{f}^{\prime }(s)\text{，}{g}^{\prime }(s)$を用いて表せ．

(4)　$C$の長さを$L$とし，$\mathrm{P}$が$C$全体を動くときの，$\mathrm{Q}$の描く曲線の長さを$M$とする．$M-L$を求めよ．ただし，${\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}dx={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$を用いてもよい．