2003 早稲田大学 人間科学部MathJax

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2003 早稲田大学 人間科学部

2月18日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(1)  x2 y2- 2x2 y+2 xy 2-6 xy+ 6x+2 y-3

=(x y+ x+ ) (xy + y+ )

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易□ 並□ 難□

【1】

(2) 数列 { an }

an= 1 n+ n+1 n=1 2 3

と定めるとき, {a n} の初項から第 143 項までの和は となる.

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易□ 並□ 難□

【1】

(3) 方程式

xlog2 x= x 564

を解くと, x= (順不同)となる.

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2月18日実施

易□ 並□ 難□

【1】

(4)  -12 | x2- x| dx= 6

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易□ 並□ 難□

【1】

(5) サイコロを 4 回続けて振るとき, 4 以下の目が出る回数の期待値は 3 である.

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易□ 並□ 難□

【1】

(6)  cos2 10° +cos2 70° +cos2 130° = 2

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易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上の 3 O A B は,点 O が原点,点 A の座標が ( 4,3 ) であるとする.また点 B OB =25 AB=5 を満たす第 2 象限の点でもある.

(1) 点 B の座標は ( 5 , 5 ) である.

(2) 三角形 OAB の面積は であり,三角形 OAB の内接円の半径は

-5

である.

(3) さらに,三角形 OAB の内接円の中心(内心)の座標は

( + 5 10 , + 5 )

である.

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易□ 並□ 難□

【3】  n 2 以上の自然数とし,複素数平面において 0 を中心として半径 1 の円 C 上に

zk= cos( 360 ° n× k)+i sin ( 360° n ×k) k=0 1 2 n-1

で表される点をとる.ここで i は虚数単位とする.

(1)  zn- 1+ zn-2 + +z1 +z0 を求めよ.

(2) 複素数 w に対して, w z k の距離を d (w ,zk ) とする.また, w 0 との距離を r とする.このとき, k= 0n- 1 d( w,zk )2 r をもちいて表せ.

(3) 複素数 w 4 1 +i -1 +i -1 -i 1- i を頂点とする正方形の周および内部を動くとき, k=0 n-1 d (w, zk) 2 の最大値および最小値を求めよ.

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易□ 並□ 難□

【4】 以下の問いの答えよ.

(1)  f( x)= x3 e-x とおく. 0<x における f (x ) の極値を求めよ.

(2)  0<x に対して, 0<x 2e -x <4 x であることを示せ.

(3) 正の数 M に対して

I( M)= 0M x2 e-x dx

とおく.極限値 limM + I( M) を求めよ.

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