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2003-13591-0301
2003 早稲田大学 人間科学部
2月18日実施
易□ 並□ 難□
【1】
(1) x2⁢ y2- 2⁢x2 ⁢y+2 ⁢x⁢y 2-6⁢ x⁢y+ 6⁢x+2 ⁢y-3
=(x ⁢y+ ア ⁢ x+ イ )⁢ (x⁢y + ウ ⁢ y+ エ ).
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(2) 数列 { an } を
an= 1 n+ n+1 ( n=1 , 2 ,3 ,⋯ )
と定めるとき, {a n} の初項から第 143 項までの和は オ となる.
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(3) 方程式
xlog2 ⁡x= x 564
を解くと, x= カ , キ (順不同)となる.
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(4) ∫ -12 ⁡ | x2- x| ⁢dx= ク 6 .
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(5) サイコロを 4 回続けて振るとき, 4 以下の目が出る回数の期待値は ケ 3 である.
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(6) cos2⁡ 10° +cos2 ⁡70° +cos2⁡ 130° = コ 2 .
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【2】 座標平面上の 3 点 O , A , B は,点 O が原点,点 A の座標が ( 4,3 ) であるとする.また点 B は OB =2⁢5 , AB=5 を満たす第 2 象限の点でもある.
(1) 点 B の座標は ( サ 5 , シ 5 ) である.
(2) 三角形 OAB の面積は ス であり,三角形 OAB の内接円の半径は
セ -5 ソ
である.
(3) さらに,三角形 OAB の内接円の中心(内心)の座標は
( タ + チ ⁢5 10 , ツ + 5 テ )
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【3】 n を 2 以上の自然数とし,複素数平面において 0 を中心として半径 1 の円 C 上に
zk= cos⁡( 360 ° n× k)+i ⁢sin⁡ ( 360° n ×k) , ( k=0 ,1 ,2 ,⋯ ,n-1 )
で表される点をとる.ここで i は虚数単位とする.
(1) zn- 1+ zn-2 +⋯ +z1 +z0 を求めよ.
(2) 複素数 w に対して, w と z k の距離を d ⁡(w ,zk ) とする.また, w と 0 との距離を r とする.このとき, ∑k= 0n- 1⁡ d( w,zk )2 を r をもちいて表せ.
(3) 複素数 w が 4 点 1 +i ,-1 +i ,-1 -i ,1- i を頂点とする正方形の周および内部を動くとき, ∑ k=0 n-1 ⁡d ⁡(w, zk) 2 の最大値および最小値を求めよ.
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【4】 以下の問いの答えよ.
(1) f⁡( x)= x3⁢ e-x とおく. 0<x における f ⁡(x ) の極値を求めよ.
(2) 0<x に対して, 0<x 2⁢e -x <4 x であることを示せ.
(3) 正の数 M に対して
I⁡( M)= ∫ 0M⁡ x2⁢ e-x ⁢dx
とおく.極限値 limM→ +∞ ⁡I⁡( M) を求めよ.