2003　早稲田大学　政治経済学部MathJax

【１】　次の空欄にあてはまる数値または式等を解答欄に記入せよ．

　$xy$平面上の，正の整数$m\text{，}n$を成分にもつ点$(m,n)$を格子点と呼ぶ．各格子点に次の規則で番号$f(m,n)$を付ける：

(ⅰ)　$f(1,1)=1$

(ⅱ)　$\{\begin{array}{l}f(n,1)=f(1,n-1)+1\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}\\ f(n-i,i+1)=f(n-i+1,i)+1\text{（}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1\text{；}n\geqq 2\text{）．}\end{array}$

　このとき，$f(3,2)=\boxed{\text{ア}}$である．$f(1,m)\text{，}f(m,1)$を$m$の式で表すと，それぞれ，$f(1,m)=\boxed{\text{イ}}\text{，}f(m,1)=\boxed{\text{ウ}}$である．また，$f(m,n)=100$となる格子点$(m,n)$は，$m+n=\boxed{\text{エ}}$をみたし，その座標は$(m,n)=\boxed{\text{オ}}$である．

【２】　$0\mathrm{°}\leqq \theta \leqq 360\mathrm{°}$のとき，関数

$f(\theta )={({\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^2\theta +\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}})}^3+\cos 2\theta -4\sin \theta -3$

とおく．次の問いに答えよ．

(1)　$x={\displaystyle \frac{1}{2}}{\sin }^2\theta +\sin \theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}$とするとき，$x$の動く範囲を求めよ．

(2)　$y=|f(\theta )|$の最大値を求めよ．

【３】　次の空欄にあてはまる$0$以上の数値または式を解答欄に記入せよ．

　次のルールで$1$つのサイコロを繰り返して投げる：

$5$以上の目が続けて$2$回でたら，このサイコロ投げをやめる

それ以外の場合は，サイコロ投げを続ける．

　このとき，$n$回目に$5$以上の目が出て，かつ$(n+1)$回目のサイコロ投げを続ける確率を$a_n$とおき，$n$回目に$4$以下の目が出て，$(n+1)$回目のサイコロ投げを行う確率を$b_n$とおく．

　$n=1\text{，}2$のときは$a_1=\boxed{\text{ア}}\text{，}{b}_1=\boxed{\text{イ}}\text{，}{a}_2=\boxed{\text{ウ}}\text{，}{b}_2=\boxed{\text{エ}}$である．

　$1$以上の$n$に対して，関係式

(A)　$a_{n+1}=\boxed{\text{オ}}\times a_n+\boxed{\text{カ}}\times b_n\text{，}{b}_{n+1}=\boxed{\text{キ}}\times a_n+\boxed{\text{ク}}\times b_n$

$\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．

　また，(A)から$a_n\text{，}{a}_{n+1}\text{，}{a}_{n+2}$の関係式を導くと，

(B)　$a_{n+2}-\boxed{\text{ケ}}\times a_{n+1}-\boxed{\text{コ}}\times a_n=0\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

となる．ここで，$t^2-\boxed{\text{ケ}}t-\boxed{\text{コ}}=0$の$2$つの解$\alpha \text{，}\beta ={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}\pm \sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{（}\alpha <\beta \text{）}$である．(B)は$a_{n+2}-(\alpha +\beta )\times a_{n+1}+\alpha \beta \times a_n=0$と表すことができるから，

$a_{n+2}-\alpha \times a_{n+1}=\boxed{\text{セ}}\times (a_{n+1}-\alpha \times a_n)\text{，}{a}_{n+2}-\beta \times a_{n+1}=\boxed{\text{ソ}}\times (a_{n+1}-\beta \times a_n)$

よって，

(C)　$a_{n+1}-\alpha \times a_n=\boxed{\text{タ}}\times {\beta }^n\text{，}{a}_{n+1}-\beta \times a_n=\boxed{\text{チ}}\times {\alpha }^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

が成り立つ．

　(C)より，$\alpha \text{，}\beta$を用いて$a_n$を表すと

$a_n=\boxed{\text{ツ}}$

となる．$\boxed{\text{ツ}}$を用いて$(n+1)$回目でサイコロ投げをやめる確率$P_{n+1}$を$\alpha \text{，}\beta$で表せば

$P_{n+1}=\boxed{\text{テ}}\times a_n=\boxed{\text{ト}}$

となることがわかる．

【４】　$a>0\text{，}a\ne 1$とする．このとき，$x$の不等式

${\log }_a(x+2)\geqq {\log }_{a^2}(3x+16)$

を解け．