2003　早稲田大学　商学部MathJax

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{チ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(1)　数直線上を動く点$\mathrm{P}$が原点の位置にある．$1$個のさいころを投げて，$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$の目が出たときには$\mathrm{P}$を正の向きに$1$だけ進め，$5\text{，}6$の目が出たときには$\mathrm{P}$を負の向きに$1$だけ進める．さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{P}$の座標が正である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}\text{イ}}}{\boxed{\text{ウ}\text{エ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{チ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(2)　$q>0$とする．$x$の$3$次方程式

$2x^3-5q{x}^2+1=0$

が少なくとも$1$つの正の解をもつような$q$の最小値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{チ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(3)　数列$\{a_n\}$が，

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n}{a_n+1}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定義されているとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{a}_k{a}_{k+1}=a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_{100}{a}_{101}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}\text{ク}\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}\text{サ}\text{シ}}}}$．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{チ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(4)　三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=1\text{，}\mathrm{AC}=2$とする．$\angle \mathrm{BAC}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とし，$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを$2\alpha$とするとき，

$\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ス}}}{\boxed{\text{セ}}}}\cos \alpha$．

【１】　$\boxed{\text{ア}}\text{〜}\boxed{\text{チ}}$にはいるべき数を，マーク解答用紙の該当する数字の部分に$1$つだけマークせよ．ただし，分数はすべて既約分数で答えよ．

(5)　$n$を任意の正の整数とする．$1$から$n$までの正の整数の和を$M$とするとき，$25M+\boxed{\text{ソ}}$は$1$から$\boxed{\text{タ}}n+\boxed{\text{チ}}$までの正の整数の和である．

【２】　$a\geqq 0$とする．$x$の$2$次方程式

$x^2+2ax-2a+3=0$

の解を$\alpha \text{，}\beta$とする．ただし，解は複素数の範囲で考えている．このとき，${\displaystyle \frac{1}{2}}(|\alpha |+|\beta |)$の最小値を与える$a$の値と最小値を求めよ．

【３】　正の整数$N$に対し，$N$の約数の中で最大の奇数を$\alpha (N)$とする．また，

$\beta (N)={\displaystyle \frac{N}{\alpha (N)}}$

とする．例えば，$\alpha (7)=7\text{，}\beta (7)=1\text{，}\alpha (34)=17\text{，}\beta (34)=2$である．

(1)　$2003$以下の正の整数$N$で

$\beta (N)=4$

となるものの個数を求めよ．

(2)　次の和

$S={\displaystyle \sum _{k=1}^{2^n}}{\log }_2\beta (k)={\log }_2\beta (1)+{\log }_2\beta (2)+{\log }_2(3)+\cdots +{\log }_2\beta (2^n)$

を求めよ．