2004　大学入試センター試験　本試験　数学I／数学IAMathJax

【１】

［１］　$a$を定数とし，$2$次関数

$y=-x^2+(2a-5)x-2a^2+5a+3$

のグラフを$C$とする．

(1)　グラフ$C$の頂点の座標は

${\displaystyle (\frac{2a-\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\frac{\mathrm{-4}{a}^2+\boxed{\text{ウエ}}}{4})}$

である．

(2)　グラフ$C$と$x$軸が異なる$2$点で交わるための$a$の範囲は

${\displaystyle -\frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}<a<\frac{\sqrt{\boxed{\text{オカ}}}}{\boxed{\text{キ}}}}\cdots \text{①}$

である．

(3)　$a$は$\text{①}$を満たす整数とする．このとき，グラフ$C$と$x$軸との二つの交点の$x$座標がともに整数となるのは，$a=\boxed{\text{ク}}$または$a=\boxed{\text{ケコ}}$の場合であり，その場合に限る．$a=\boxed{\text{ケコ}}$のとき，交点の$x$座標は$\boxed{\text{サシ}}$と$\boxed{\text{スセ}}$である．ただし，$\boxed{\text{サシ}}$と$\boxed{\text{スセ}}$は解答の順序を問わない．

【１】

［２］　一つのさいころを$2$回続けて投げ，出た目の数を順に$a\text{，}$$b$とするとき，$u={\displaystyle \frac{a}{b}}$とおく．

(1)　$u=1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$である．

(2)　$u>1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツテ}}}}$である．

(3)　$u$が整数になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ト}}}{\boxed{\text{ナニ}}}}$である．

(4)　$T$を次で定義する．

$u\text{が整数になる場合}\{\begin{array}{l}u\text{が偶数ならば}T=u\\ u\text{が奇数ならば}T=1\end{array}$

$u\text{が整数にならない場合}T=0$

　このとき，$T$の期待値は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ヌネ}}}{\boxed{\text{ノハ}}}}$である．

【２】　平面上に$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{OP}=\sqrt{6}$である．点$\mathrm{O}$を中心とする円$O$と点$\mathrm{P}$を中心とする円$P$が$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$で交わっている．円$P$の半径は$2$であり，$\angle \mathrm{AOP}=45°$である．このとき，円$O$の半径は

$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}+\boxed{\text{イ}}\text{または}\sqrt{\boxed{\text{ア}}}-\boxed{\text{イ}}$

である．

　以下，円$O$の半径が$\sqrt{\boxed{\text{ア}}}-\boxed{\text{イ}}$のときを考える．

　$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}-\sqrt{\boxed{\text{エ}}}$

である．よって，四角形$\mathrm{AOBP}$の面積は

$\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}}$

である．

　$\cos \angle \mathrm{APB}={\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{キ}}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

であるから，$\angle \mathrm{APB}=\boxed{\text{ケコ}}°$である．扇形$\mathrm{PAB}\text{，}$扇形$\mathrm{OAB}$の面積を計算することにより，円$O$の内部と円$P$の内部の共通部分の面積は

${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}-3\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{6}}\pi -(\boxed{\text{オ}}-\sqrt{\boxed{\text{カ}}})$

であることがわかる．

【３】　図のように，東西にはしる道が$4$本，南北にはしる道が$4$本ある．

(1)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に行く経路のうち最短の経路は$\boxed{\text{アイ}}$通りある．

(2)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に行き，続いて$\mathrm{C}$地点に行く経路のうち最短の経路は$\boxed{\text{ウエ}}$通りある．ただし，$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{B}$地点に行くときに$\mathrm{C}$地点を通ることがあってもよい．

(3)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{C}$地点と$\mathrm{D}$地点の両方を通って$\mathrm{B}$地点に行く経路のうち最短の経路は$\boxed{\text{オ}}$通りある．

(4)　$\mathrm{A}$地点から  $\mathrm{B}$地点に行く最短の経路のうち，$\mathrm{C}$地点と$\mathrm{D}$地点の少なくとも一つの地点を通るものは$\boxed{\text{カキ}}$通りある．

(5)　$\mathrm{A}$地点から$\mathrm{C}$地点と$\mathrm{D}$地点の両方を通って$\mathrm{B}$地点に行き，続いて$\mathrm{B}$地点から$\mathrm{C}$地点も$\mathrm{D}$地点も通らずに$\mathrm{A}$地点にもどる経路のうち，最短の経路は$\boxed{\text{クケ}}$通りある．

【２】

［１］　$m\text{，}$$n$を整数とする．$x$の整式

$A=x^3+m{x}^2+nx+2m+n+1$

を考える．

(1)　$x$の整式$B$を

$B=x^2-2x\mathrm{-1}$

とする．$A$を$B$で割ると，商$Q$と余り$R$はそれぞれ

$Q=x+(m+\boxed{\text{ア}})$

$R=(2m+n+\boxed{\text{イ}})x$$+(3m+n+\boxed{\text{ウ}})$

である．

　また，$x=1+\sqrt{2}$のとき，$B$の値は$\boxed{\text{エ}}$であり，さらにこのとき，$A$の値が$\mathrm{-1}$であるならば，$m\text{，}$$n$は整数だから，

$m=\boxed{\text{オ}}\text{，}$$n=\boxed{\text{カキ}}$

である．

(2)　次の$\boxed{\text{ク}}$に当てはまるものを，下の$\overline{)\text{0}}\text{〜}$$\overline{)\text{5}}$のうちから一つ選べ．

　$x$がどのような奇数であっても$A$の値が常に偶数になるための必要十分条件は$\boxed{\text{ク}}$となることである．

• $\overline{)\text{0}}m$が奇数
• $\overline{)\text{1}}n$が奇数
• $\overline{)\text{2}}m-n$が奇数
• $\overline{)\text{3}}m$が偶数
• $\overline{)\text{4}}n$が偶数
• $\overline{)\text{5}}m-n$が偶数

【２】

［２］　平面上に$2$点$\mathrm{O}\text{，}$$\mathrm{P}$があり，$\mathrm{OP}=\sqrt{6}$である．点$\mathrm{O}$を中心とする円$O$と点$\mathrm{P}$を中心とする円$P$が，$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わっている．円$P$の半径は$2$であり，$\angle \mathrm{AOP}=45°$である．このとき，円$O$の半径は

$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}+\boxed{\text{コ}}\text{または}\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$

である．

　以下，円$O$の半径が$\sqrt{\boxed{\text{ケ}}}-\boxed{\text{コ}}$のときを考える．

　$\mathrm{AB}=\sqrt{\boxed{\text{サ}}}-\sqrt{\boxed{\text{シ}}}$

である．

　また，$\mathrm{OA}$の$\mathrm{A}$側への延長と円$P$との交点を$\mathrm{C}$とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$について，

$\angle \mathrm{BAC}=\boxed{\text{スセソ}}°\text{，}\mathrm{BC}=\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}$

である．

【３】

(1)　整数からなる等比数列$\{a_n\}$が，$a_1+a_2=32\text{，}$$a_4+a_5=864$を満たしている．このとき，

$a_n=\boxed{\text{ア}}\cdot {\boxed{\text{イ}}}^{n-1}$

であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}(a_k+4k-2)$$=\boxed{\text{ウ}}\cdot {\boxed{\text{エ}}}^n$$+\boxed{\text{オ}}{n}^2-\boxed{\text{カ}}$

となる．

【３】

(2)　分数${\displaystyle \frac{9}{37}}$を小数で表したときに小数第$n$位に現れる数を$b_n$とする．すべての自然数$n$に対して$b_{n+p}=b_n$となる最小の自然数$p$は$\boxed{\text{キ}}$であり，

${\displaystyle \sum _{k=1}^{100}}{b}_k=\boxed{\text{クケコ}}$

である．

【４】　$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{D}$を中心とする半径$1$の円と，線分$\mathrm{DE}$との交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{F}$におけるこの円$D$の接線と辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}$との交点をそれぞれ$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{H}$とする．さらに直線$\mathrm{GE}$と直線$\mathrm{BD}$との交点を$\mathrm{I}$とする．$\boxed{\text{キ}}$〜$\boxed{\text{サ}}$には，次の$\overline{)\text{0}}\text{〜}\overline{)\text{F}}$のうちから正しいものを一つずつ選べ．

• $\overline{)\text{1}}\mathrm{EH}$
• $\overline{)\text{1}}\mathrm{FD}$
• $\overline{)\text{2}}\mathrm{FE}$
• $\overline{)\text{3}}\mathrm{GE}$


• $\overline{)\text{4}}\mathrm{GF}$
• $\overline{)\text{5}}\mathrm{GH}$
• $\overline{)\text{6}}\mathrm{GI}$
• $\overline{)\text{7}}\mathrm{GJ}$


• $\overline{)\text{8}}\mathrm{IE}$
• $\overline{)\text{9}}\mathrm{JB}$
• $\overline{)\text{A}}\mathrm{BEI}$
• $\overline{)\text{B}}\mathrm{BIE}$


• $\overline{)\text{C}}\mathrm{EBI}$
• $\overline{)\text{D}}\mathrm{EFG}$
• $\overline{)\text{E}}\mathrm{FEG}$
• $\overline{)\text{F}}\mathrm{FGE}$

(1)　点$\mathrm{I}$が$▵\mathrm{BGH}$の内心であることを示す．$E$は$\mathrm{BC}$を$1:3$に内分するから

$\mathrm{EC}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$

である．$▵\mathrm{ECD}$ において三平方の定理（ピタゴラスの定理）を用いれば

$\mathrm{ED}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

となる．よって$\mathrm{EF}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}$である．

　$▵\mathrm{GBE}$と$▵\mathrm{GFE}$は直角三角形で，斜辺$\mathrm{GE}$を共有し，$\mathrm{BE}=\boxed{\text{キ}}$であるから$▵\mathrm{GBE}\equiv ▵\mathrm{GFE}$が成り立つ．ゆえに$\angle \mathrm{BGE}=\angle \boxed{\text{ク}}$となる．一方，

$\angle \mathrm{GBI}=45°=\angle \boxed{\text{ケ}}$

であるから$\mathrm{I}$は$▵\mathrm{BGH}$の内心であることがわかる．

(2)　次に，$▵\mathrm{BGH}$の内接円$I$の半径$r$を求める．$\mathrm{GA}=\mathrm{GF}=\mathrm{GB}$なので，$\mathrm{G}$は$\mathrm{AB}$の中点であることがわかる．$\mathrm{I}$から$\mathrm{GB}$に下ろした垂線と$\mathrm{GB}$との交点を$\mathrm{J}$とする．$\mathrm{JI}=\boxed{\text{コ}}=r$であって$\mathrm{JI}⫽\mathrm{BE}$であるから

$\mathrm{GB}:\mathrm{BE}=\boxed{\text{サ}}:\mathrm{JI}$

が成り立つ．ゆえに$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$となる．

【５】　次のプログラムを考える．ただし，120 行の THEN の後は，コロン「 ; 」で区切られた複数の命令をその順に実行させるものである．

• 100 INPUT "A = ";A
• 110 INPUT "B = ";B
• 120 IF B <= 0 THEN PRINT "B <= 0 です．終了します． " : GOTO 240
• 130 X = 0
• 140 Y = A
• 150 IF A < 0 THEN GOTO 200
• 160 IF Y < B THEN GOTO 230
• 170 X = X + 1
• 180 Y = Y - B
• 190 GOTO 160
• 200 X = X - 1
• 210 Y = Y + B
• 220 IF Y < 0 THEN GOTO 200
• 230 PRINT "X は " ; X ; ", Y は " ; Y ; " です． "
• 240 END

(1)　A = ? に対して$50\text{，}$B = ? に対して$11$を入力すると，170 行は$\boxed{\text{ア}}$回，210 行は$\boxed{\text{イ}}$回実行され，

X は$\boxed{\text{ウ}}$,Y は$\boxed{\text{エ}}$です．

と表示される．

(2)　A = ? に対して$\mathrm{-50}\text{，}$B = ? に対して$6$を入力すると，170 行は$\boxed{\text{オ}}$回，210 行は$\boxed{\text{コ}}$回実行され，

Xは$\boxed{\text{キク}}\text{，}$Yは$\boxed{\text{ケ}}$です．

と表示される．

(3)　A = ? に対して$14.9\text{，}$B = ? に対して$2.5$を入力すると，X の値として

X は$\boxed{\text{コ}}$

と表示され，その右に Y の値として表示される数を既約分数で表すと${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$となる．