2004　北海道大学　後期MathJax

【１】　 $n$を自然数とする．等式

$\sin x=e^{{\displaystyle \frac{x}{n}}}-1$

を満たす$0$以上の実数$x$の個数を$P_n$で表す．このとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{P_n}{n}}$

を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．

【２】　$D$を$0\leqq x<y$を満たす整数の組$(x,y)$のなす集合とする．$x=0$である$D$の要素$(0,y)$を「レベル$0$である」という．次の操作$\mathrm{G}$を考える．

操作$\mathrm{G}$：レベル$0$でない$D$の要素$(x,y)$から新たな$D$の要素$(x^{\prime },y^{\prime })$を作る．ここで$x^{\prime }$は$y$を$x$で割った余りであり，$y^{\prime }$は$x$である．

この操作を$(x,y)$に$n$回繰り返してレベル$0$になるとき，$(x,y)$は「レベル$n$である」という．$0$以上の$n$に対して，レベル$n$の$D$の要素$(x,y)$のうち，$y$が最小になるものを「レベル$n$の最小組」という．

(1)　$n=0\text{，}1\text{，}2$について，レベル$n$の最小組をすべて求めよ．それらが操作$\mathrm{G}$の繰り返しで，どのようにレベル$0$になるかを書け．

(2)　操作$\mathrm{G}$を$1$回行うことにより$(a,b)$が得られるような$D$の要素をすべて求めよ．

(3)　$n\geqq 1$とする．$(a,b)$をレベル$n$の最小組とする．$(x,y)$をレベル$n$の組とすれば，$a\leqq x$となることを$n$についての数学的帰納法を用いて示せ．

(4)　(3)により，各$n\geqq 1$に対し，レベル$n$の最小組がただ$1$つ定まることがわかる．この組を$(a_n,b_n)$と表すとき，

$b_{n+1}=a_n+b_n\text{，}{a}_{n+1}=b_n$

であることを示せ．

【３】　$x=\sqrt{\cos 2t}\cos t\text{，}y=\sqrt{\cos 2t}\sin t{\displaystyle (-\frac{\pi }{4}\leqq t\leqq \frac{\pi }{4})}$

と媒介変数$t$で表される曲線を$C$とする．

(1)　曲線$C$上の点$(x,y)$における$y$の最大値と，そのときの$x$を求めよ．

(2)　曲線$C$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$|z|=1$である複素数$z$に対して，$z\text{，}{z}^2\text{，}{\displaystyle \frac{1}{z}}$が定める複素数平面上の$3$点を考える．ただし，$z$の偏角$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲とする．

(1)　$3$点の内の$2$点以上が一致するときの$\theta$をすべて求めよ．

(2)　(1)以外のときに，$3$点を頂点とする三角形の面積$S$を，$\theta$を用いて表せ．

(3)　$S$が極大値をとるときの$\cos \theta$の値をすべて求めよ．

(4)　$S$の最大値と，そのときの複素数$z$を求めよ．