2004　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　$a\text{，}b\text{，}c$はどの$2$つも$1$以外の共通な約数をもたない正の整数とする．$a\text{，}b\text{，}c$が，

$a^2+b^2=c^2$

を満たしているとき，次の問いに答えよ．

問１　$c$は奇数であることを示せ．

問２　$a\text{，}b$の$1$つは$3$の倍数であることを示せ．

問３　$a\text{，}b$の$1$つは$4$の倍数であることを示せ．

【２】　$xy$平面上の曲線$C$を$x=\cos t\text{，}y=-t+\log (\tan ({\displaystyle \frac{t}{2}+\frac{\pi }{4}}\left)\right)(0<t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$で定義するとき，次の問いに答えよ．

問１　${\displaystyle \frac{dy}{dx}}\text{，}{\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$を$t$で表せ．

問２　曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線と$y$軸との交点を$\mathrm{Q}$とするとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さは一定であることを示せ．

【３】　曲線$C:y=a\log x+b\text{（}a\text{，}b$は実数）が直線$y=x$と$1$点$\mathrm{P}$で接している．点$\mathrm{P}$から$x$軸におろした推薦の足を$\mathrm{Q}\text{，}$曲線$C$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とするとき，次の問いに答えよ．

問１　点$\mathrm{P}$および点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．

問２　$▵\mathrm{POQ}\text{（}\mathrm{O}$は原点）の面積を$S_1\text{，}$曲線$C\text{，}$直線$y=x$及び$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_2$とおくとき，${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}$の値を求めよ．

【４】　$n$を正の整数とする．複素数$\alpha$は，絶対値が$1$でその偏角$\theta$が

$1+\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta =0$

を満たしているとする．次の問いに答えよ．

問１　$\alpha$を求めよ．

問２　$n=2$と$n=3$のそれぞれの場合について，$\alpha$をそれぞれ複素数平面上に図示せよ．

問３　$\alpha$の個数を$n$を用いて表せ．