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2004 東北大学 後期

文系

易□ 並□ 難□

【1】 次の式で表される放物線を C (θ ) とする.

y= x2 2 cosθ x +2 +sin 2θ 1+ cos2 θ

  C( θ) の頂点を P (θ ) とし, C( θ) y 軸との交点を R (θ ) とする. θ 90°< θ<90 ° の範囲を動くとき,次の問いに答えよ.

(1) 頂点 P (θ ) の軌跡の方程式を求めよ.

(2)  P( θ) R (θ ) との距離の最小値を求めよ.

2004 東北大学 後期

文系

易□ 並□ 難□

【2】 平面上のベクトル a b c d があり,以下の関係を満たすとする.

(1)  f =p a +q b と表されるベクトル f を考える.係数 p および q をベクトル f a b の内積と k を用いてそれぞれ表せ.

(2) ベクトル c および d a b k を用いてそれぞれ表せ.

(3) ベクトル g g =r c +s d と表されるとき,(1)で与えられたベクトル f との内積 f g k p q r s を用いて表せ.

2004 東北大学 後期

文系

理系【3】の類題

易□ 並□ 難□

【3】  −180° <θ< 180° とする.複素数 z =cos θ+i sin θ に対し, w = 1 (1+ z)2 とおき, w の実部と虚部をそれぞれ x y とする.

(1)  x cos θ で表せ.

(2)  x2 +y2 cos θ で表せ.

(3)  x y で表せ.

2004 東北大学 後期

文系・理系共通問題

易□ 並□ 難□

【4】  4 人乗りと 5 人乗りの自動車が 1 台ずつあり, a b c d e f g 7 人が同じ目的地に出かける.誰が運転するか,どの席に座るかは区別しないものとして,以下の問いに答えよ.

(1) 全員が運転でき,かつ全員が 2 台の自動車に分乗するものとする.分乗の組み合わせは何通りあるか.

(2)  7 人のうち運転できるのは, a b c 3 人だけで,各車に少なくとも 1 人は運転できる人が乗ることにする.全員が 2 台の自動車に分乗するとき,分乗の組み合わせは何通りあるか.

(3) 全員が運転できるとする.歩いて行く人がいても,誰も乗らない自動車があってもよいとするとき,分乗の組み合わせは何通りあるか.

2004 東北大学 後期

理系

易□ 並□ 難□

【1】  3 次曲線 y= x3 3 x C 1 とする. a を正の実数とし, C1 x 軸方向へ a だけ平行移動した曲線を C 2 とする.

(1)  C1 C 2 が異なる 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.また,このとき C 1 C 2 で囲まれる図形の面積 S (a ) を求めよ.

(2)  a が(1)の範囲を動くとき,面積 S (a ) の最大値を求めよ.

2004 東北大学 後期

理系

易□ 並□ 難□

【2】  A=( a bc d ) は実数を成分とする行列であり,実数 s 正の実数 t および 2 次正方行列 B があって,次を満たすとする.

A=s E+t B Bt= E

 ここで E= (1 0 01 ) である.

(1) 不等式 (a d)2 +4 bc< 0 がなりたつことを示せ.また, s および t a b c d を用いてそれぞれ表せ.

(2) 複素数 s+ it を解にもつ実数係数の 2 次方程式

x 2+p x+q =0

を考える. p および q a b c d を用いてそれぞれ表せ.

2004 東北大学 後期

理系

易□ 並□ 難□

【3】  x の方程式

|asin x+cos 2 x|= 2

が解をもつような実数 a の範囲を求めよ.

2004 東北大学 後期

理学部・工学部

易□ 並□ 難□

【5】 媒介変数 t を用いて

x=x (t)= et+ e t2 y= y(t )= et e x 2

と表される曲線 C を考える.ただし, e は自然対数の底である.点 (0 ,1) A で表す.

(1) 曲線 C 上の点 (x (a ),y (a) ) における接線が点 A を通るとする. a の値を求めよ.

(2) 曲線 C 上の点 (x (t ),y (t) ) と点 A を結ぶ線分の長さ L が最小となるような t の値を b とする. b を求めよ.

(3)  a b は(1),(2)のものとして, C 上の 2 P (x (a), y(a )) Q (x (b), y(b )) を考える.曲線 C 2 つの線分 AP AQ で囲まれる図形の面積 S を求めよ.

2004 東北大学 後期

理学部・工学部

易□ 並□ 難□

【6】  a を実数とし,

z 3=3 | z| +a (*)

を満たす複素数 z について考える.

(1)  a が実数全体を動くとき, z の取り得る値を複素数平面上に図示せよ.

(2)  −2<a <0 の範囲にある各 a に対し(*)を満たす z の個数を求めよ.

文系・理系の学部・学科別

文系 法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻

理系 理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)

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