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2004-10081-0201
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2004 東北大学 後期
文系
易□ 並□ 難□
【1】 次の式で表される放物線を C ⁡(θ ) とする.
y= x2 −2 cos⁡θ ⁢x +2 +sin⁡ 2⁢θ 1+ cos⁡2 ⁢θ
C⁡( θ) の頂点を P ⁡(θ ) とし, C⁡( θ) と y 軸との交点を R ⁡(θ ) とする. θ が − 90°< θ<90 ° の範囲を動くとき,次の問いに答えよ.
(1) 頂点 P ⁡(θ ) の軌跡の方程式を求めよ.
(2) P⁡( θ) と R ⁡(θ ) との距離の最小値を求めよ.
2004-10081-0202
【2】 平面上のベクトル a → , b→ , c → ,d → があり,以下の関係を満たすとする.
(1) f→ =p⁢ a→ +q⁢ b→ と表されるベクトル f → を考える.係数 p および q をベクトル f → , a→ , b→ の内積と k を用いてそれぞれ表せ.
(2) ベクトル c → および d → を a→ , b → , k を用いてそれぞれ表せ.
(3) ベクトル g → が g→ =r⁢ c→ +s⁢ d→ と表されるとき,(1)で与えられたベクトル f → との内積 f→ ⋅g → を k , p ,q , r ,s を用いて表せ.
2004-10081-0203
理系【3】の類題
【3】 −180° <θ< 180° とする.複素数 z =cos⁡ θ+i ⁢sin⁡ θ に対し, w = 1 (1+ z)2 とおき, w の実部と虚部をそれぞれ x , y とする.
(1) x を cos⁡ θ で表せ.
(2) x2 +y2 を cos⁡ θ で表せ.
(3) x を y で表せ.
2004-10081-0204
文系・理系共通問題
【4】 4 人乗りと 5 人乗りの自動車が 1 台ずつあり, a ,b , c ,d , e ,f , g の 7 人が同じ目的地に出かける.誰が運転するか,どの席に座るかは区別しないものとして,以下の問いに答えよ.
(1) 全員が運転でき,かつ全員が 2 台の自動車に分乗するものとする.分乗の組み合わせは何通りあるか.
(2) 7 人のうち運転できるのは, a ,b , c の 3 人だけで,各車に少なくとも 1 人は運転できる人が乗ることにする.全員が 2 台の自動車に分乗するとき,分乗の組み合わせは何通りあるか.
(3) 全員が運転できるとする.歩いて行く人がいても,誰も乗らない自動車があってもよいとするとき,分乗の組み合わせは何通りあるか.
2004-10081-0205
理系
【1】 3 次曲線 y= x3 −3⁢ x を C 1 とする. a を正の実数とし, C1 を x 軸方向へ a だけ平行移動した曲線を C 2 とする.
(1) C1 と C 2 が異なる 2 点で交わるような a の範囲を求めよ.また,このとき C 1 と C 2 で囲まれる図形の面積 S ⁡(a ) を求めよ.
(2) a が(1)の範囲を動くとき,面積 S ⁡(a ) の最大値を求めよ.
2004-10081-0206
【2】 A=( a bc d ) は実数を成分とする行列であり,実数 s , 正の実数 t および 2 次正方行列 B があって,次を満たすとする.
A=s⁢ E+t⁢ B, Bt= −E
ここで E= (1 0 01 ) である.
(1) 不等式 (a− d)2 +4⁢ b⁢c< 0 がなりたつことを示せ.また, s および t を a , b ,c , d を用いてそれぞれ表せ.
(2) 複素数 s+ i⁢t を解にもつ実数係数の 2 次方程式
x 2+p ⁢x+q =0
を考える. p および q を a , b ,c , d を用いてそれぞれ表せ.
2004-10081-0207
【3】 x の方程式
|asin ⁡x+cos ⁡2⁢ x|= 2
が解をもつような実数 a の範囲を求めよ.
2004-10081-0208
理学部・工学部
【5】 媒介変数 t を用いて
x=x⁡ (t)= et+ e− t2 ,y= y⁡(t )= et −e −x 2
と表される曲線 C を考える.ただし, e は自然対数の底である.点 (0 ,1) を A で表す.
(1) 曲線 C 上の点 (x ⁡(a ),y⁡ (a) ) における接線が点 A を通るとする. a の値を求めよ.
(2) 曲線 C 上の点 (x ⁡(t ),y⁡ (t) ) と点 A を結ぶ線分の長さ L が最小となるような t の値を b とする. b を求めよ.
(3) a ,b は(1),(2)のものとして, C 上の 2 点 P (x⁡ (a), y⁡(a )) ,Q (x⁡ (b), y⁡(b )) を考える.曲線 C と 2 つの線分 AP , AQ で囲まれる図形の面積 S を求めよ.
2004-10081-0209
【6】 a を実数とし,
z 3=3 ⁢| z| +a (*)
を満たす複素数 z について考える.
(1) a が実数全体を動くとき, z の取り得る値を複素数平面上に図示せよ.
(2) −2<a <0 の範囲にある各 a に対し(*)を満たす z の個数を求めよ.
文系・理系の学部・学科別
文系 法学部・経済学部・医学部保健学科看護学専攻
理系 理学部・工学部・歯学部・薬学部・農学部・医学部(医学科,保健学科放射線技術科学専攻・検査技術科学専攻)