2004　筑波大学　前期MathJax

【１】　関数$f(x)$を

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\log |x|}{x}}& \text{（}|x|>1\text{）}\\ a{x}^3+b{x}^2+cx+d& \text{（}|x|\leqq 1\text{）}\end{array}$

と定める．ただし，$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は定数とし，$f(x)$は$x=\pm 1$において微分可能とする．なお，$\log$は$e=2.718\cdots$を底とする自然対数である．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の最大値を求めよ．

【２】　$f(x)={\sin }^{3}x$とする．

(1)　$f^{\prime }(0)$および$f^{\prime }(2\pi )$を求めよ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}f(x)dx$を求めよ．

(3)　$p(x)$を$x$の$2$次式とするとき，${\displaystyle {\int }_0^{2\pi }}p(x)f^{″}(x)dx=0$を示せ．

【３】　$f(x)$は$x\geqq 0$で連続で，$f(0)=0$かつ$x<0$において$f^{\prime }(x)>0$を満たすとする．$t>0$に対して，曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$とで囲まれる図形を$x$軸のまわりに一回転してできる立体の体積を$X(t)\text{，}$曲線$y=f(x)$と$y$軸および直線$y=f(t)$とで囲まれる図形を$y$軸のまわりに一回転してできる立体の体積を$Y(t)$とする．また，$X(0)=Y(0)=0$とする．このとき，次を示せ．

(1)　$X^{\prime }(t)=\pi {f(t)}^2\text{，}{Y}^{\prime }(t)=\pi t^2{f}^{\prime }(t)\text{（}t>0\text{）}$である．

(2)　$f(x)$が整式でかつ，すべての$t\geqq 0$に対して$X(t)=Y(t)$が成り立つならば，$f(x)=0\text{（}x\geqq 0\text{）}$である．

(3)　$f(x)={\displaystyle \frac{x}{1+x}}$ならば，$X(t)=Y(t)\text{（}t\geqq 0\text{）}$である．

【４】　$2$次の正方行列$X=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$が等式

$X^2+aX+bE=O$

を満たすとする．ただし，$x\text{，}y\text{，}z\text{，}w\text{，}a\text{，}b$は実数，$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{，}O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$とする．

(1)　$x+w\ne -a$のとき，$a^2-4b>0$であることを示し，$a\text{，}b$を用いて$X$を表せ．

(2)　$a^2+4b\leqq 0$のとき，$yz\leqq 0$を示せ．

【５】　$\stackrel{\text{だ}}{\text{楕}}$円$C:{\displaystyle \frac{x^2}{3}}+y^2=1$上の点で，$x\geqq 0$の範囲にあり，定点$\mathrm{A}(0,\mathrm{-1})$との距離が最大となる点を$\mathrm{P}$とする．

(1)　点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

(2)　点$\mathrm{Q}$は楕円$C$上を動くとする．$△\mathrm{APQ}$の面積が最大となるとき，点$\mathrm{Q}$の座標および$△\mathrm{APQ}$の面積を求めよ．

【６】　$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$および$Y_1\text{，}{Y}_2\text{，}\cdots \text{，}{Y}_n$は，それぞれ区間$[0,1]$で等確率でかつ独立に発生させた乱数である．各$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$について，$(X_i,Y_i)$から$Z_n$を次のように定義する．

$Z_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{（}{X_i}^2+{Y_i}^2\leqq 1\text{のとき）}\\ 0& \text{（それ以外のとき）}\end{array}$

(1)　確率$P(Z_i=1)$を求めよ．

(2)　$W_n={\displaystyle \frac{4}{n}}(Z_1+Z_2+\cdots +Z_n)$とするとき，$W_n$の平均$\mu$と分散${\sigma }^2$を求めよ．

(3)　$W_n$は正規分布で近似できるとし，$n={10}^m\text{（}m\text{は正の整数）}$とする．$W_n$の値が$95\%$の確率で区間$(\mu -0.0034,\mu +0.0034)$に入る$m$の最小値を求めよ．

(注)　正規分布表参照

【７】　実数$A\text{，}B\text{，}C$が与えられたとき，$a_0=A\text{，}{b}_0=B\text{，}{c}_0=C$とおいて，$n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$について$a_{n+1}={\displaystyle \frac{b_n+c_n}{2}}\text{，}{b}_{n+1}={\displaystyle \frac{c_n+a_n}{2}}\text{，}{c}_{n+1}={\displaystyle \frac{a_n+b_n}{2}}$とする．

(1)　$A\text{，}B\text{，}C$を読み込み，数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}\text{，}\{c_n\}$を$n=20$まで生成し，印刷していくプログラムを書け．

(2)　$a_n+b_n+c_n=A+B+C$を示せ．

(3)　$2a_n-b_n-c_n$を$A\text{，}B\text{，}C$および$n$で表せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を求めよ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　自然学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第二学群

　人間学類　数学III選択　【１】〜【３】から２題選択

　人間学類　数学C選択　【４】〜【７】から２題選択

　生物学類，生物資源学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

第三学群

　社会工学類，情報学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

　国際総合学類　【１】〜【３】から２題選択，【４】〜【７】から２題選択

　工学システム学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から１題選択

　工学基礎学類　【１】，【２】必須，【４】〜【７】から１題選択

医学専門学群

　医学類，看護・医療科学類　【１】〜【３】必須，【４】〜【７】から２題選択

図書館情報専門学群

　【１】〜【３】から２題選択，【４】〜【７】から２題選択