2004　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　次の問に答えよ．

(1)　次の連立不等式の表す領域$D$を図示せよ．

$\{\begin{array}{l}4y\geqq x^2+y^2\geqq 2x+4y-4\\ 3y+\sqrt{3}x\geqq 6\end{array}$

(2)　点$(x,y)$が(1)の領域$D$を動くとき，$x+y$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　次の問に答えよ．

(1)　次の等式が成り立つような整数$p\text{，}q\text{，}r$の例をあげよ．

${\displaystyle \frac{1}{2-\sqrt[3]{7}}}=p+q\sqrt[3]{7}+r\sqrt[3]{49}$

(2)　$\sqrt[3]{7}$と$\sqrt[3]{9}$ではどちらが$2$に近いか．

【３】　机の上にある$13$枚のコインの中から，無作為に$6$枚のコインを選び裏返すという試行を考える．すべてのコインが表を上にしてある状態から始め，この試行を$n$回続けて行う．このとき次の問に答えよ．

(1)　$n$が$2$のとき，表が上を向いているコインの枚数が$5$以上である確率を求めよ．

(2)　どのような$n$に対しても，表が上を向いているコインの枚数は奇数であることを示せ．

【４】　$3$次関数$f\left(x\right)=x^3+a{x}^2+bx+c$は$x=\alpha$で極大値，$x=\beta$で極小値をとるとする．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は定数とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$f(\alpha )+f(\beta )$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(2)　${\displaystyle \frac{f(\alpha )+f(\beta )}{2}=f\left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}$であることを示せ．

(3)　$3$次関数$g\left(x\right)=x^3+3x^2+x+d$について，極大値と極小値の和が$8$になるとき定数$d$の値を求めよ．