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2004-10221-0201
2004 埼玉大学 前期
理学部(数学科)
(2)と合わせて配点40点
易□ 並□ 難□
【1】
(1) 定積分 ∫0 π⁡ |3 ⁢sin⁡ x−cos ⁡x− 1| ⁢dx を求めよ.
2004-10221-0202
(1)と合わせて配点40点
(2) xy 平面において,曲線 y =(2 ⁢x2 −2 ⁢x+1 )⁢ e− x2 と直線 y= k が相異なる 3 個の共有点をもつような定数 k の値を求めよ.
2004-10221-0203
配点30点
【2】 複素数 z =x+y ⁢i ( x ,y は実数, i は虚数単位)に対して,
||z ||= max⁡{ |x |, |y |}
とおく.ただし,実数 a , b について, max⁡{ a,b } は, a≧b の場合 a を, a<b の場合 b を表すとする.複素数平面上で次の条件を満たす点 z の領域をそれぞれ図示せよ.
(1) 1≦|| z||≦ 2
(2) 3≦max ⁡{|| z−3 ||, ||z −2⁢ i||} ≦4
(3) ||z 2|| ≦2
2004-10221-0204
【3】 xy 平面上の放物線 C :y= x2 を考える.原点を O とし,放物線 C 上の点 P ( t,t 2) ( t> 0 ) における接線を l とする.直線 OP と l のなす角を θ ( 0<θ < π2 ) とする.
(1) tan⁡θ を t を用いて表せ.
(2) 点 P を通り l とのなす角が θ であるような 2 本の直線のうち,直線 OP ではない直線 m の方程式を求めよ.
(3) (2)で求めた直線 m が点 ( 6 7, 0) を通るとする.このとき,点 P の座標を求めよ.