2004　埼玉大学　前期(理学部(数学科))MathJax

【１】

(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}|\sqrt{3}\sin x-\cos x-1|dx$を求めよ．

【１】

(2)　$xy$平面において，曲線$y=(2x^2-2x+1)e^{-x^2}$と直線$y=k$が相異なる$3$個の共有点をもつような定数$k$の値を求めよ．

【２】　複素数$z=x+yi\text{（}x\text{，}y\text{は実数，}i$は虚数単位）に対して，

$||z||=\max \{|x|,|y|\}$

とおく．ただし，実数$a\text{，}b$について，$\max \{a,b\}$は，$a\geqq b$の場合$a$を，$a<b$の場合$b$を表すとする．複素数平面上で次の条件を満たす点$z$の領域をそれぞれ図示せよ．

(1)　$1\leqq ||z||\leqq 2$

(2)　$3\leqq \max \{||z-3||,||z-2i||\}\leqq 4$

(3)　$||z^2||\leqq 2$

【３】　$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$を考える．原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,t^2)\text{（}t>0\text{）}$における接線を$l$とする．直線$\mathrm{OP}$と$l$のなす角を$\theta (0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$とする．

(1)　$\tan \theta$を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$を通り$l$とのなす角が$\theta$であるような$2$本の直線のうち，直線$\mathrm{OP}$ではない直線$m$の方程式を求めよ．

(3)　(2)で求めた直線$m$が点$({\displaystyle \frac{6}{7}},0)$を通るとする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．