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2004-10221-0301
2004 埼玉大学 前期
工学部(機械工学科)
配点15点
易□ 並□ 難□
【1】 次の問いに答えよ.
(1) 行列 A =( 12 3 4 ), B= (7 −5 3 11 ) としたとき,
A⁢X =B
を満足する行列 X を求めよ.
2004-10221-0302
【1】
(2) 次の恒等式の定数 a , b ,c , d を求めよ.
x3 +3⁢ x2 ⁢y+ x⁢y 2+3 ⁢y3 −x 2− y2 −3⁢ x−9 ⁢y+ 3=( x2+ a⁢y 2+b )(x +c⁢ y+d)
2004-10221-0303
(3) 相異なる三つの実数 a , b ,c が a , b ,c の順に等比数列となっている.さらに c , a ,b の順に等差数列となっている.また, a ,b , c の和が 6 である.このとき, a ,b , c を求めよ.
2004-10221-0304
(1)は30点,(2)は15点,計45点
【2】 複素数平面上の点 z n+1 と z n ( n は自然数)の関係が以下のように表わされているとき,次の問いに答えよ.
zn+ 1= 1 4⁢ (−1+ 3⁢ i)⁢ zn− 1+3⁢ 3⁢ i
(1) z1 が | z1 −1− 3⁢ i | =1 を満たしている.このとき,点 z 1 全体が作る図形の概略を描け.また,点 z 2 全体が作る図形の概略を描け.
(2) zn を z 1 と n を用いて表わせ.
2004-10221-0305
配点40点
【3】 任意の正数 x に対して次の不等式が成り立つような正の定数 a の範囲を求めよ.
2 a−1 ⁢( xa +2a )≧ (x+ 2)a
2004-10221-0306
(1)は20点,(2)は15点,(3)は25点,計60点
【4】 tan⁡ x2 を t とおき,次の問いに答えよ.
(1) sin⁡x および cos ⁡x を t で表わせ.
(2) d xdt を t で表わせ.
(3) 不定積分 ∫ 53 ⁢sin⁡ x+4⁢ cos⁡x ⁢dx を求めよ.
2004-10221-0307
(1)は20点,(2)は30点,計50点
【5】 整数 n に対して, In = ∫0 π 2 ⁡ (cos⁡ x)n ⁢dx とおく.次の問いに答えよ.
(1) I0 , I1 , I2 を求めよ.
(2) In を I n−2 で表わせ.ただし, n≧2 とする.
2004-10221-0308
(1),(2)は15点,(2)は30点,計60点
【6】 曲線 A :y= x4+ a⁢x 3+b ⁢x2 +c⁢ x+d と直線 L :y=m ⁢x+ n が 2 点 P および Q で接している.ここで,点 P および Q の x 座標はそれぞれ 0 および β である.ただし, β> 0 とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 定数 a , b ,c , d を m , n ,β で表わせ.
(2) 線分 PQ と曲線 A で囲まれる図形の面積を求めよ.
(3) 直線 L に平行な直線 K が曲線 A と相異なる 3 点を共有し,その内 1 点で接している.このとき, 3 つの共有点それぞれの x 座標を求めよ.