2004　千葉大学　前期MathJax

2004-10241-0102

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【２】　 $24$ 枚からなるカードの組がある．この組のそれぞれのカードには $1$ から $6$ までの数がひとつ書かれており，各数についてそれぞれ $4$ 枚ずつある．この組から $2$ 枚のカードを同時に引く．

(1)　 $2$ 枚のカードの数が同じになる確率を求めよ．

(2)　 $2$ 枚のカードの数の差が $3$ 以上となる確率を求めよ．

(3)　 $2$ 枚のカードの数の和の期待値を求めよ．

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【３】　正の数 $a$ を初項とする公差 $3$ の等差数列を $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots$ とし，

$S_{n} = \frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + \frac{1}{a_{3} a_{4}} + \dots + \frac{1}{a_{n - 1} a_{n}}$

とする．

(1)　一般項 $a_{n}$ を求めよ．

(2)　 $n ≧ 2$ のとき， $S_{n}$ を $a$ と $n$ を用いて表せ．

(3)　 $100$ 以上のすべての $n$ に対して

$S_{n} ≧ \frac{1}{3 a + 1}$

が成立する $a$ の最大値を求めよ．

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【４】　 $1$ 辺の長さが $1$ の正三角形 $ABC$ がある．辺 $BC$ の中点 $M$ を中心とする半径 $r$ の円が辺 $AB$ および辺 $AC$ と共有点をもつとき， $AB$ との共有点のうち頂点 $A$ に近い方の点を $D$ とし， $AC$ との共有点のうち頂点 $A$ に近い方の点を $E$ とする．

(1)　 $AD$ の長さが $\frac{3}{4}$ であるとき， $r$ の値を求めよ．

(2)　 $AD$ の長さを $x$ とおくとき， $r^{2}$ を $x$ の式で表せ．

(3)　 $∠ DME = θ$ とおくとき， $\cos θ = \frac{1}{3}$ となる $r$ の値を求めよ．

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【５】　 $3$ 次関数 $f (x)$ および $2$ 次関数 $g (x)$ を

$f (x) = x^{3} ， g (x) = a x^{2} + b x + c$

とし， $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフが点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{8})$ で共通の接線をもつとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)　 $b ， c$ を $a$ を用いて表せ．

(2)　 $f (x) - g (x)$ の $0 ≦ x ≦ 1$ における最小値を $a$ を用いて表せ．

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【６】　 $0 < t < 1$ とする． $2$ 次方程式

$x^{2} - 2 t x + 1 = 0$

の解のひとつを $α$ とする．複素数平面上の $4$ 点を $O (0) ， A (−1) ， B (1) ， P (α)$ とし， $AB$ を直径とする円を $C$ とする．点 $A$ を通り $OP$ に平行な直線が円 $C$ と交わる $A$ 以外の点を $Q$ とする．

(1)　 $| α |$ を求めよ．

(2)　四角形 $ABPQ$ の面積が最大となる $t$ の値とそのときの面積を求めよ．

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【７】　 $x y$ 平面上の動点 $A$ は原点 $O (0, 0)$ を出発し， $x$ 軸上を点 $(2, 0)$ まで動くとする．また動点 $B$ は点 $(0, 1)$ を出発し， $AB = OB = 1$ なる条件を満たしながら第 $1$ 象限内を点 $(1, 0)$ まで動くとする．点 $P$ は線分 $AB$ 上の点で $2 BP = OA$ を満たす．

(1)　 $∠ AOB = θ$ とするとき，点 $P$ の座標を $θ$ で表せ．ただし点 $A$ が点 $O$ と一致するときを除く．

(2)　点 $P$ の軌跡と $x$ 軸， $y$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．

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【８】　 $n$ を自然数とする． $n$ 次多項式 $P_{n} (x)$ は， $n + 1$ 個の整数 $k = 0 ， 1 ， 2 ， \dots ， n$ に対して

$P_{n} (k) = 2^{k} - 1$

を満たす．

(1)　 $P_{2} (x) - P_{1} (x)$ および $P_{3} (x) - P_{2} (x)$ を因数分解せよ．

(2)　 $P_{n} (x)$ を求めよ．

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【９】　 $N$ を自然数とする．

$a_{1} = N ， a_{n + 1} = ⌊ \frac{1}{2} (a_{n} + ⌊ \frac{N}{a_{n}} ⌋) ⌋ （ n = 1 ， 2 ， 3 ， \dots ）$

で定まる数列 ${a_{n}}$ について以下の問いに答えよ．ここで $⌊ x ⌋$ は $x$ をこえない最大の整数を表す．

(1)　 $a_{n} ≧ ⌊ \sqrt{N} ⌋$ を証明せよ．

(2)　 $a_{n} ≦ a_{n + 1}$ ならば $a_{n} = ⌊ \sqrt{N} ⌋$ であることを証明せよ．

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【10】　 $x y z$ 空間内に点 $A (1, 1, 2)$ と点 $B (−5, 4, 0)$ がある．点 $C$ が $y$ 軸上を動くとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値を求めよ．

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【11】　 $x$ を実数とするとき， $⌊ x ⌋$ は $x$ を超えない最大の整数を表す．

(1)　整数 $⌊ \frac{2^{10}}{10} ⌋$ を $2$ 進法で表せ．

(2)　次の手続きを考える．

(ⅰ)　初期値設定 $b \leftarrow f (a) ， s \leftarrow 0$ を行う．

(ⅱ)　次の枠内を $b < c$ となるまで繰り返す：

　 $s \leftarrow s + b ， b \leftarrow g (b * r)$ を順次実行する．

(ⅲ)　上の繰り返し終了後 $t \leftarrow h (s)$ を行う．

定数 $a ， r ， c$ と関数 $f ， g ， h$ をそれぞれ $a = \frac{1}{10} ， r = \frac{1}{2} ， c = 1 ， f (x) = ⌊ 2^{10} x ⌋ ， g (x) = ⌊ x ⌋ ， h (x) = 2^{−10} x$ として上の手続きを実行する．このとき(ⅱ)の繰り返しの回数と，実行後の $t$ の値を求めよ．

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【12】　 $52$ 枚からなるカードの組がある．この組のそれぞれのカードには $1$ から $13$ までの数がひとつ書かれており，各数についてそれぞれ $4$ 枚ずつある．この組から $1$ 枚目のカードを引き，そのカードに書かれている数を $X$ とする．次のこのカードをもとへ戻さずに $2$ 枚目のカードを引き，そのカードに書かれている数を $Y$ とする． $X ， Y$ のうち大きい方の数を $Z$ とする．ただし $2$ つの数が同じ場合は，その数を $Z$ とする．

(1)　 $X = i （ i = 1 ， 2 ， \dots ， 13 ）$ のとき， $Y = j （ j = 1 ， 2 ， \dots ， 13 ）$ となる条件つき確率を求めよ．

(2)　 $X = Y$ となる確率を求めよ．

(3)　 $Z$ の期待値を求めよ．

志望別問題選択一覧

数学I，A

　教育学部　自然教育・技術教育系，情報教育系　【１】，【２】，【３】，【４】

数学I，II，A，B

　文学部　行動科学科　【２】，【４】，【５】必須，【10】，【11】から１題選択

　法経学部　【２】，【４】，【５】必須，【10】，【11】から１題選択

　園芸学部　【３】，【４】，【５】必須，【10】〜【12】から１題選択

数学I，II，III，A，B，C

　理学部　生物学科，地球科学科

　　【４】，【５】，【６】，【７】必須，【10】〜【12】から１題選択

　工学部Aコース　都市環境システム学科，デザイン工学科

　　【４】，【５】，【６】，【７】必須，【10】〜【12】から１題選択

　理学部　物理学科，化学科　【５】，【６】，【７】，【８】必須，【10】〜【12】から１題選択

医学部　【５】，【６】，【７】，【８】必須，【10】〜【12】から１題選択

薬学部　【５】，【６】，【７】，【８】必須，【10】〜【12】から１題選択

　工学部Aコース　電子機械工学科，メディカルシステム工学科，

　共生応用化学科，情報画像学科

　　【５】，【６】，【７】，【８】必須，【10】〜【12】から１題選択

　理学部　数学・情報数理学科

　　【５】，【６】，【７】，【８】，【９】必須，【10】〜【12】から１題選択

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