2004　東京大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面の放物線$y=x^2$上の$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$が次の条件をみたしている．

　$▵\mathrm{PQR}$は一辺の長さ$a$の正三角形であり，点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を通る直線の傾きは$\sqrt{2}$である．

　このとき，$a$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．次の$2$つの不等式を同時にみたす点$(x,y)$全体からなる領域を$D$とする．

• $y\geqq x^2$
• $y\leqq -2x^2+3ax+6a^2$

　領域$D$における$x+y$の最大値，最小値を求めよ．

【３】　関数$f(x)\text{，}g(x)\text{，}h(x)$を次で定める．

• $f(x)=x^3-3x$
• $g(x)={\{f(x)\}}^3-3f(x)$
• $h(x)={\{g(x)\}}^3-3g(x)$

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を実数とする．$f(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．

(2)　$g(x)=0$をみたす実数$x$の個数を求めよ．

(3)　$h(x)=0$をみたす実数$x$の個数を求めよ．

【４】　片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が$3$枚ある．この$3$枚の板を机の上に並べ，次の操作を繰り返し行う．

　さいころを振り，出た目が$1\text{，}2$であれば左端の板を裏返し，$3\text{，}4$であればまん中の板を裏返し，$5\text{，}6$であれば右端の板を裏返す．

　たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし，$1$回目の操作で出たさいころの目が$1$であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに$2$回目の操作を行って出たさいころの目が$5$であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

(1)　「白白白」から初めて，$3$回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．

(2)　「白白白」から初めて，$n$回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」または「白黒白」または「白白黒」となる確率を$p_n$とする．

　$p_{2k+1}$（$k$は自然数）を求めよ．

注意：さいころは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．

【２】　自然数の$2$乗になる数を平方数という．以下の問いに答えよ．

(1)　$10$進法で表して$3$桁以上の平方数に対し，$10$の位の数を$a\text{，}1$の位の数を$b$とおいたとき，$a+b$が偶数となるならば， $b$は$0$または$4$であることを示せ．

(2)　$10$進法で表して$5$桁以上の平方数に対し，$1000$の位の数，$100$の位の数，$10$の位の数，および$1$の位の数の$4$つのすべてが同じ数となるならば，その平方数は$10000$で割り切れることを示せ．

【３】　半径$10$の円$C$がある．半径$3$の円板$D$を，円$C$に内接させながら，円$C$の円周に沿って滑ることなく転がす．円板$D$の周上の一点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$が，円$C$の円周に接してから再び円$C$の円周に接するまでに描く曲線は，円$C$を$2$つの部分に分ける．それぞれの面積を求めよ．

【４】　関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定める．

• $f_1(x)=x^3-3x$
• $f_2(x)={\{f_1(x)\}}^3-3f_1(x)$
• $f_3(x)={\{f_2(x)\}}^3-3f_2(x)$

　以下同様に，$n\geqq 3$に対して関数$f_n(x)$が定まったならば，関数$f_{n+1}(x)$を

$f_{n+1}(x)={\{f_n(x)\}}^3-3f_n(x)$

で定める．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　$a$を実数とする．$f_1(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．

(2)　$a$を実数とする．$f_2(x)=a$をみたす実数$x$の個数を求めよ．

(3)　$n$を$3$以上の自然数とする．$f_n(x)=0$をみたす実数$x$の個数は$3^n$であることを示せ．

【５】　$r$を正の実数とする．$xyz$空間内の原点$\mathrm{O}(0,0,0)$を中心とする半径$1$の球を$A\text{，}$点$\mathrm{P}(r,0,0)$を中心とする半径$1$の球を$B$とする．球$A$と球$B$の和集合の体積を$V$とする．ただし，球$A$と球$B$の和集合とは，球$A$または球$B$の少なくとも一方に含まれる点全体よりなる立体のことである．

(1)　$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形をかけ．

(2)　$V=8$となるとき，$r$の値はいくらか．四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．

注意：円周率$\pi$は$3.14<\pi <3.15$をみたす．

【６】　片面を白色に，もう片面を黒色に塗った正方形の板が$3$枚ある．この$3$枚の板を机の上に並べ，次の操作を繰り返し行う．

　さいころを振り，出た目が$1\text{，}2$であれば左端の板を裏返し，$3\text{，}4$であればまん中の板を裏返し，$5\text{，}6$であれば右端の板を裏返す．

　たとえば，最初，板の表の色の並び方が「白白白」であったとし，$1$回目の操作で出たさいころ目が$1$であれば，色の並び方は「黒白白」となる．さらに$2$回目の操作を行って出たさいころの目が$5$であれば，色の並び方は「黒白黒」となる．

(1)　『白白白」から始めて，$3$回の操作の結果，色の並び方が「黒白白」となる確率を求めよ．

(2)　「白白白」から始めて，$n$回の操作の結果，色の並び方が「白白白」または「白黒白」となる確率を求めよ．

注意：さいころは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．