2004　東京医科歯科大学　前期MathJax

【１】　次の条件(A)，(B)を満たす関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を考える．

(A)　$f_n(x)$は$x$の$n$次式で表される．

(B)　任意の実数$\theta$に対して次式が成立する．

$f_n(2\cos \theta )\sin \theta =\sin (n+1)\theta$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)$を求めよ．

(2)　次の極限値を求めよ．ただし$k$は正の定数とする．

$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\sin k\theta }{\sin \theta }}$

(3)　$f_n(2)$を求めよ．

(4)　整式$f_n(x)$を$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$ax-25$のとき，次数$n$および定数$a$を求めよ．

【２】　関数$g(x)$および$f_k(x)\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定義する．

• $g(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{2}{3}{x}^3-\frac{5}{3}x}& \text{（}|x|\leqq 2\text{のとき）}\\ x& \text{（}|x|>2\text{のとき）}\end{array}$
• $f_k(x)=g(x-k)+k$

　正の整数$k\text{，}l$に対し，整数の組を要素とする集合${\mathrm{S}}_k$および${\mathrm{T}}_{k,l}$を次のように定義する．

• ${\mathrm{S}}_k=\{(m,n)|m\text{，}n\text{は整数，}m\ne n\text{，}{f}_k(m)=n\}$
• ${\mathrm{T}}_{k,l}=\{(m,n)|m\text{，}n\text{は整数，}m\ne n\text{，}{f}_l(f_k(m))=n\}$

　このとき以下の各問いに答えよ．

(1)　${\mathrm{S}}_k=\{(k-1,k+1),(k+1,k-1)\}$となることを示せ．

(2)　${\mathrm{T}}_{3,4}$を求めよ．

(3)　${\mathrm{T}}_{3,k}\ne {\mathrm{S}}_3\cup {\mathrm{S}}_k$を満たす整数$k$をすべて求めよ．

(4)　${\mathrm{T}}_{3,k}\ne {\mathrm{T}}_{k,3}$を満たす整数$k$をすべて求めよ．

【３】　座標平面上に次の$5$点をとる．ただし$a$は正の定数とする．

$\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{B}(\mathrm{-1},0)\text{，}\mathrm{C}(1,a)\text{，}\mathrm{D}(\mathrm{-1},a)\text{，}\mathrm{M}(0,a)$

　原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の各問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{CD}$上の任意の点$\mathrm{P}$に対して次の不等式が成立することを示せ．

$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}\geqq \mathrm{AM}+\mathrm{BM}$

(2)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OM}$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{MP}$の最小値を求めよ．

(3)　$a=2$とする．点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$が四角形$\mathrm{ACDB}$の内部（辺を含む）を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{CQ}+\mathrm{DQ}$の最小値を求めよ．