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2004 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

理(化学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【1】  a を実数とする.二次方程式

x2- 2a x+1= 0

2 つの解を α β として, 3 つの複素数 0 α β の表す複素数平面の 3 O A B を頂点とする三角形の面積を S( a) とする.ただし, O A B が一直線上にあるときは S (a)= 0 とする.

(1)  S( 0) S ( 12 ) S( 1) を求めよ.

(2)  S(a )=0 となるための a の条件を求めよ.

(3)  a が実数全体を動くとき, S(a ) の最大値が存在すればそれを求めよ.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

理(化学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【2】 原点を中心として半径 1 の円 C1 がある.円 C1 の円周上に正六角形 T1 の頂点をとり,それらを反時計回りで P 1 P2 P3 P4 P5 P6 とする.

(1) 円 C1 の周と正六角形 T1 の周で囲まれた図形の面積を求めよ.

(2) 正六角形 T1 の頂点をひとつおきに P1 P 3 P 2 P 4 P 3 P 5 P 4 P 6 P 5 P 1 P 6 P2 を結ぶと,小正六角形 T3 が得られる.正六角形 T2 の一辺の長さを求めよ.

(3) 正六角形 T2 の外接円を C2 とする.(2)と同様にして,正六角形 T2 の頂点をひとつおきに結んで得られる小正六角形を T3 とする.この操作を続けて,原点を中心とする円 Ck とその周上に頂点を持つ正六角形 Tk が得られる.円 Ck の周と正六角形 Tk の周で囲まれた図形の面積を Sk とする.このとき, k =1n Sk を求めよ.ただし, n 3 以上の自然数とする.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

文教育,生活科学部

理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【3】 関数 f (x)= x3+ x2- ax- a を考える.ここで, a は正の実数であるものとする.

(1) 曲線 y= f(x ) とその上の点 P( -1,f (-1 )) における接線との共有点のうち接点 P 以外のものを求めよ.

(2)  f(x )=0 の実数解の個数を a に応じて求めよ.

(3)  f(x ) の極値を求めよ.

(4) 曲線 y= (x) の概形を(1),(2),(3)で求めたことを利用して描け.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【1】  n を自然数とする.以下の各問いに答えよ.

(1)  n 3 で割った余りが 1 ならば,すべての自然数 m に対して nm 3 で割った余りは 1 であることを示せ.

(2)  n 3 で割った余りが 2 ならば,すべての奇数 m に対して nm 3 で割った余りは 2 であることを示せ.

(3)  nm 3 で割った余りが 2 となる自然数 m があれば, n 3 で割った余りも 2 であることを示せ.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【2】 以下の各問いに答えよ.

(1)  α<β を満たす実数 α β に対して,

αβ ( x-α) (x- β)d x=- 1 6 (β- α)3

を示せ.

(2) 放物線 P y= -x2 +2x +4 で定める.点 (p, q) が直線 y= -2x +1 の上を動くとき, y=( x-p) 2+q で定める放物線 Q P と共有点をもつような p の範囲を求めよ.

(3)  p が(2)で求めた範囲を動くとき, P Q で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

理(数,物理,生物,情報科学科)学部数学共通

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【2】  f(x )=x3 -3 x2+ 2x とおく.

(1) 曲線 y= (x) の点 (α ,f( α)) における接線の方程式を y= g(x ) とおく.このとき, x に関する方程式 f (x)- g(x )=0 が重解をもつことを示せ.

(2) 曲線 y= f(x ) 上の点 P n( xn, f( xn) ) を次の条件(a),(b)で定める.

(ⅰ)  xn- 1 xn との関係式を求めよ.

(ⅱ)  xn を求めよ.

2004 お茶の水女子大学 前期共通

理(化学科)学部数学共通

易□ 並□ 難□

【3】 実数の区間 [ 0, π2 ] で定義された関数 f (x)= e-x sin x g( x)=e -x cosx について以下の問に答えよ.

(1)  f (x) g ( x) を計算せよ.

(2)  f(x ) f (x ) g (x ) で表せ.また, g(x ) f ( x) g (x ) で表せ.

(3) 曲線 y= f(x )y =g( x) x 軸で囲まれる部分の面積を計算せよ.

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