2004　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

$I(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^n}{\displaystyle \frac{{(-1)}^k}{2k+1}}{}_{n}C_k$

とおく．ただし，${}_{0}C_0=1$である．次の各問に答えよ．

(1)　$I(0)\text{，}I(1)\text{，}I(2)\text{，}I(3)$の値をそれぞれ求めよ（答えのみでよい）．

(2)　${(1-y^2)}^n$を二項定理を用いて展開することにより

$I(n)={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-y^2)}^{n}dy$

であることを示せ．

(3)$y=\sin x$と置換することにより

${\displaystyle {\int }_0^1}{(1-y^2)}^{n}dy={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{(\cos x)}^{2n+1}dx$

であることを示せ．

(4)　$n\geqq 1$のとき，

${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{{(\cos x)}^{2n}\sin x\}=(2n+1){(\cos x)}^{2n+1}-2n{(\cos x)}^{2n-1}$

であることを示せ．

(5)　$n\geqq 1$に対して$I(n)<I(n-1)$であること，および

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{I(n)}{I(n-1)}}=1$

であることを示せ．

(1)　関数$f(x)=a^x$のグラフが直線$y=x$を接線にもつとすれば，$a$の値はいくらか．また，このとき接点の座標を求めよ．

(2)　(1)の場合，$y=a^x$と$y=x$そして$y$軸とで囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　$a>1$のとき$y=a^x$と$y=x$とは$2$点で交わるか，接するか，または共有点をもたないかのいずれかであることを示し，$2$点で交わる場合の$a$の値の範囲を求めよ．

(1)　$\overline{\mathrm{PA}}\times \overline{\mathrm{PB}}$が最大になるのは$\mathrm{P}$がどのような場合か．また，最大値を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}$が最大になるのは$\mathrm{P}$がどのような場合か．

(3)　${\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{PA}}\times \overline{\mathrm{PB}}}{\overline{\mathrm{PA}}+\overline{\mathrm{PB}}}}$の最大値を$\theta$を用いて表せ．

　点$\mathrm{S}$を出発し，途中休みなく歩いて$1$分毎に点を通過し，はじめて点$\mathrm{G}$に到達した時点で止まるものとする．ただし，点を通過するとき次のように進むものとする．

　点$\mathrm{S}$を出発するときは$2$本の道があって，どちらの道に進む確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．また，点$\mathrm{A}$および点$\mathrm{B}$を通過するときも，いずれも前方に$2$本の道があって，どちらの道に進む確率も${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．なお，右前方または左前方のどちらか一方にしか道がない点を通過するときは確率$1$でその道を進むこととする．

　$n$を自然数として，$\mathrm{S}$を出発して$n$分後に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を通過する確率をそれぞれ$A(n)\text{，}B(n)$とし，ちょうど$n$分後に$\mathrm{G}$に到達する確率を$G(n)$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{S}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{G}$の順に通り，ちょうど$3$分後に$\mathrm{G}$に到達する確率を求めよ．

(2)　$A(1)\text{，}A(2)\text{，}A(3)\text{，}A(4)\text{，}A(5)\text{，}A(6)\text{，}A(7)$を求めよ．

(3)　$A(n)$を求めよ．

(4)　$B(1)\text{，}B(2)\text{，}B(3)\text{，}B(4)\text{，}B(5)\text{，}B(6)\text{，}B(7)$を求めよ．

(5)　$B(n)$を求めよ．

(6)　$G(n)$を$A(n-2)$と$B(n-1)$を用いて表せ．ただし$n\geqq 3$とする．

(7)　$G(n)$を求めよ．

(1)　$y=x^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}$を$y=-{\displaystyle \frac{9}{4}}$に関して上に折り返すことにより得られる関数を$y=g(x)$としたとき，${\displaystyle {\int }_0^b}g(x)dx=0$を満たす正の数$b$を求めよ．

(2)　$y=x^2-8$を$y=c$に関して上に折り返した関数を$y=h(x)$としたとき，${\displaystyle {\int }_{-4}^4}h(x)dx=0$を満たす実数$c$を求めよ．

　以下$j\geqq 3$に対し順次，点${\mathrm{A}}_j$から線分${\mathrm{A}}_{j-1}{\mathrm{B}}_{j-1}$に下ろした垂線の足を ${\mathrm{B}}_j$とし，扇形${\mathrm{A}}_{j-1}{\mathrm{B}}_{j-1}{\mathrm{A}}_j$から$▵{\mathrm{A}}_{j-1}{\mathrm{B}}_j{\mathrm{A}}_j$を除いた部分を$D_{j-1}$とする．点${\mathrm{A}}_j$を中心として点${\mathrm{B}}_j$を通る円と線分${\mathrm{A}}_j{\mathrm{A}}_{j-1}$の交点を${\mathrm{A}}_{j+1}$とする．この操作を無限に繰り返す．

　このとき，以下の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{B}}_2\text{，}$点${\mathrm{A}}_3$の座標を求めよ．

(2)　点列$\{{\mathrm{A}}_n\}$の極限点の座標を求めよ．

(3)　$D_1\text{，}{D}_2\text{，}\cdots$の面積の総和を求めよ．