2004　一橋大学　後期MathJax

【１】(1)　すべての正の奇数$k$は，$m>n\geqq 0$をみたす整数$m\text{，}n$によって$k=m^2-n^2$と表されることを示せ．

(2)　正の偶数$k$で，$m>n\geqq 0$をみたす整数$m\text{，}n$によって$k=m^2-n^2$と表されるものをすべて求めよ．

【２】　複素数の数列$\{z_n\}$は$z_1=1\text{，}{z}_{n+1}=\sqrt{2}(1+i){z_n}^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$をみたす．

(1)　$|z_n|$を求めよ．

(2)　$z_n$を求めよ．

【３】　空間内の$2$点$\mathrm{P}(\cos \theta ,\sin \theta ,0)\text{，}\mathrm{Q}(\cos 2\theta ,\sin 2\theta ,\sqrt{1-\sin \theta })$と原点$\mathrm{O}$のつくる三角形$\mathrm{OPQ}$の面積の最大値および最小値を求めよ．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 360°$とする．

【４】　放物線$C$と$C$上の点$\mathrm{A}$における$C$の接線$l$に対し，$\mathrm{A}$を通り$l$に直交する直線を$\mathrm{A}$における$C$の法線という．

(1)　放物線$y=x^2$の法線で，点$(3,0)$を通るものを求めよ．

(2)　$t>0$とする．放物線$y=x^2$の法線であり，同時に，放物線$y=x^2+t$の接線となるものが存在するような$t$の範囲を求めよ．

【５】　$n$は$3$以上の整数とする．数直線上で，座標が$0$の点を$\mathrm{O}$とし，座標が$n$の点を$\mathrm{C}$とする．$0<a<b<n$をみたす整数$a\text{，}b$を無作為に選び，座標が$a$の点を$\mathrm{A}\text{，}$座標が$b$の点を$\mathrm{B}$とする．線分$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}$の長さのうちの最小値を$X$とする．

(1)　$X=2$である確率を$n$で表せ．

(2)　さらに，$n$は$3$の倍数とする．$X$の期待値を$n$で表せ．