2004　横浜国立大学　後期MathJax

【１】　実数$a\text{，}b$は$0<a<1\text{，}0<b<1$をみたす定数である．$a\leqq x\leqq 1\text{，}b\leqq y\leqq 1$の範囲を動く実数$x\text{，}y$に対し，

$z={\displaystyle \frac{x}{ay}+\frac{y}{bx}}$

とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z$と$1+{\displaystyle \frac{1}{ab}}$の大小を比較せよ．

(2)　$z=1+{\displaystyle \frac{1}{ab}}$となる$x\text{，}y$を求めよ．

(3)　$z$の最大値と最小値を求めよ．

【２】　$u\text{，}v$を実数とする．$xy$平面上の$2$つの放物線

• $C_1:y=x^2$
• $C_2:y=-{(x-u)}^2+v$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$C_1$と$C_2$が$2$つの共有点をもつための$u\text{，}v$の条件を求めよ．

(2)　$C_2$が定点$(a,b)\text{（ただし}{a}^2<b\text{）}$を通るように動くとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積の最小値を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(3)　$C_2$が円$:x^2+{(y-2)}^2=1$と共有点をもつように動くとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_1=1\text{，}{a}_2=2$と関係式

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n<a_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(2)　${a_{n+1}}^2+1=a_n{a}_{n+1}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が成り立つことを証明せよ．

(3)　$x^2+1$が$y$で割り切れ，かつ$y^2+1$が$x$で割り切れるような正の整数の組$(x,y)$は無限個存在することを証明せよ．

【４】　複素数$z\text{（}z\ne 1\text{）}$に対し，複素数$w$を${\displaystyle w=\frac{3z-1}{z-1}}$で定める．また，実部が負であるような複素数の範囲を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$D$を複素数平面上に図示せよ．

(2)　$z$が$D$の範囲を動くとき，$w$の動く範囲を複素数平面上に図示せよ．

(3)　実数$a$が$0<a<1$の範囲を動き，かつ$z$が$D$の範囲を動くとき，$aw$の動く範囲を複素数平面上に図示せよ．

【１】　次の定積分を求めよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\frac{dx}{\cos x}}$

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{4}}}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}}$

(3)　${\displaystyle {\int }_0^1}\sqrt{x^2+1}dx$

【２】　$xy$平面上に放物線$C_1:y=x^2$と定点$\mathrm{A}(a,b)$がある．ただし，$b>a^2$である．放物線$y=-x^2$を平行移動した放物線のうち，$x=u$を軸とし，$\mathrm{A}$を通るものを$C_2$とする．$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を$S$で表す．次の問いに答えよ．

(1)　$C_2$の頂点の$y$座標を$u\text{，}a\text{，}b$で表せ．

(2)　$S$を$u\text{，}a\text{，}b$で表せ．

(3)　$u$が実数全体を動くとき，$S$を最小とする$u$を求めよ．

【３】　$xy$平面上に，円$C_1:x^2+y^2=25\text{，}$および点$\mathrm{P}(1,0)$を通る円$C_2$がある．$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{Q}(3,4)$で交わり，$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線と$C_2$の接線は垂直である．$C_2$と$x$軸との交点のうち$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C_2$の中心の座標を求めよ．

(2)　$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

(3)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{R}$を通るすべての円について，次が成り立つことを示せ．

$C$と$C_1$との$2$交点のどちらにおいても，その点における$C$の接線と$C_1$の接線は垂直である．

【４】　複素数$z\text{，}w$の間には

$w=a{\displaystyle \frac{-\sqrt{2}iz+(1+i)}{\sqrt{2}z-(1+i)}}\text{（}a\text{は実数）}$

の関係がある．$a$を与えたとき図形$C_a$は，複素数平面上において，点$z$が$z+\bar{z}=0$をみたしながら動くとき，点$w$が描く図形を表す．次の問いに答えよ．

(1)　$a=1$のとき，$C_a$を図示せよ．

(2)　$a$が$\mathrm{-1}\leqq a\leqq 1$の範囲を動くとき，$C_a$の通過する範囲を図示せよ．

【５】　$xy$平面上に曲線$C:y=x\log x\text{（}x>0\text{）}$がある．$C$上の$2$点$\mathrm{P}(a,a\log a)\text{，}\mathrm{Q}(2a,2a\log (2a))$における$C$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2$とする．$l_1\text{，}{l}_2$および$C$で囲まれる図形の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$C$のグラフを描け．ただし，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$を証明なしに用いてもよい．

(2)　$l_1\text{，}{l}_2$の交点の$x$座標を求めよ．

(3)　${\displaystyle \int }x\log xdx$を求めよ．

(4)　${\displaystyle \frac{S(a)}{a^2}}$は$a$によらない定数であることを示せ．