2004　新潟大学　前期MathJax

【１】　曲線$y=3x-{\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^2$を$C$とし，直線$y=ax$を$l$とする．ただし，$a$は定数で，$0\leqq a<3$とする．直線$l$と曲線$C$との，原点$\mathrm{O}(0,0)$以外の共有点を$\mathrm{P}$とし，点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線の傾きを$k$とする．また，曲線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$A$とし，曲線$C$と直線$l$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$k$を$a$で表せ．

(2)　$S$を$a$で表せ．

(3)　$S={\displaystyle \frac{1}{8}}A$となるとき，$a$と$k$を求めよ．

【２】　座標平面上に，原点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}$点$\mathrm{A}(1,0)\text{，}$点$\mathrm{B}(0,1)$をとる．さらに，$2$点${\mathrm{P}}_1(\cos \theta ,\sin \theta )\text{，}{\mathrm{P}}_2(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$をとる．ただし，$0°\leqq \theta \leqq 45°$とする．$S_1$を，$\theta >0°$のとき$▵\mathrm{A}{\mathrm{P}}_1\mathrm{O}$の面積，$\theta =0°$のとき$0$とする．また，$S_2$を，$\theta <45°$のとき$▵\mathrm{B}{\mathrm{P}}_2\mathrm{O}$の面積，$\theta =45°$のとき$0$とする．${\displaystyle S=S_1+\frac{1}{2}{S}_2}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$を$\sin \theta$で表せ．

(2)　$0°\leqq \theta \leqq 45°$のとき，$S$の最大値と最小値を求めよ．

【３】　四角形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$が点$\mathrm{P}$で交わっている．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}$とおく．$\overrightarrow{\mathrm{BD}}=-\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{b}$を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$および$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

(3)　四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を$S$とするとき，$▵\mathrm{APD}$の面積を$S$で表せ．

【４】　複素数平面上に$▵\mathrm{ABC}$がある．点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が表す複素数をそれぞれ$z_1\text{，}{z}_2\text{，}{z}_3$とする．関係式

$(3-4i)z_1+4i{z}_2-3z_3=0$

が成り立つとき，次の問いに答えよ．

(1)　$z_3-z_1$を$z_1$と$z_2$で表せ．

(3)　$3$辺の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$と$\angle \mathrm{BAC}$の大きさを求めよ．

【２】　曲線$x=10e^{-y}$の$0\leqq y\leqq 4$の部分と$x$軸の$0\leqq x\leqq 10$の部分を，$y$軸のまわりに$1$回転してできる容器を考える．$x$軸の$0\leqq x\leqq 10$の部分を$y$軸のまわりに$1$回転してできる面が容器の底である．この容器の中に，容器の底を水平にして，毎秒$2$の割合で水を注ぐ．注ぎ始めてから$t$秒後の水面の高さを$h(t)$とする．$h(0)=0$である．はじめて$h(t)=4$となる$t$を$T\text{（秒）}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$T$を求めよ．

(2)　$0\leqq t\leqq T$における$h(t)$を求めよ．

(3)　$0<t<T$における水面の上昇速度$h^{\prime }(t)$を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とする．辺$\mathrm{AB}$上に，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AM}$と線分$\mathrm{CP}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\text{，}k=\left|\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}k$で表せ．

(2)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|\text{，}$$\left|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\right|$を$k$で表せ．

(3)　$▵\mathrm{APQ}$が二等辺三角形となるとき，$k$を求めよ．

【４】　$\alpha \text{，}\beta$は異なる複素数とし，複素数平面上で$\alpha \text{，}\beta$を表す点をそれぞれ$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　複素数$z$が$|z|=|z-1|$を満たすとき，$z+\bar{z}=1$であることを示せ．

(2)　複素数$z$が$|z-\alpha |=|z-\beta |$を満たすとき，

${\displaystyle \left|\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }\right|=|\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }-1|}$

であることを示せ．

(3)　線分$\mathrm{AB}$の垂直二等分線と$\mathrm{A}$を中心とする半径$2|\beta -\alpha |$の円との共有点が表す複素数を$\alpha \text{，}\beta$で表せ．

【５】　$x>0$において定義された関数$y=f(x)=x(1+\log x)$のグラフを$C$とする．また，曲線$C$上の点$(t,f(t))$における$C$の接線$l$の方程式を$y=g(x)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$g(x)$を求めよ．

(2)　$x>0$において，$f(x)\geqq g(x)$であることを示せ．

(3)　$2$直線$x=1\text{，}x=2$と曲線$C$および接線$l$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．

(4)　$t$が$t>0$の範囲を動くとき，面積$S(t)$が最小となる$t$を求めよ．

【６】　$a\text{，}b$を整数とし，行列$A\text{，}B$を

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ a& 4\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ b& 3\end{array}\right)$

と定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A+B$は逆行列${(A+B)}^{\mathrm{-1}}$をもつことを示せ．

(2)　${(A+B)}^{\mathrm{-1}}$のすべての成分が整数となるとき，$A-B$は逆行列${(A-B)}^{\mathrm{-1}}$をもつことを示せ．

(3)　${(A+B)}^{\mathrm{-1}}$と${(A-B)}^{\mathrm{-1}}$のすべての成分が整数になるような$a$と$b$の組$(a,b)$をすべて求めよ．