2004　信州大学　前期　教育学部MathJax

【１】　数列$\{x_n\}\text{，}\{y_n\}$は漸化式

$\{\begin{array}{l}{x}_{n+1}=x_n+2y_n\\ y_{n+1}=x_n+y_n\end{array}\text{（}n\geqq 1\text{）}$

を満たす．ただし，$x_1=1\text{，}{y}_1=0$とする．このとき，${x_n}^2-2{y_n}^2$を求めよ．

【２】　$xyz$空間に$3$点$\mathrm{A}(1,2,3)\text{，}\mathrm{B}(2,2,4)\text{，}\mathrm{C}(1,1,5)$がある．次の問に答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$を含む平面$P$に垂直で大きさが$1$のベクトルを求めよ．

(2)　点$\mathrm{D}(-2,1,-3)$から平面$P$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DH}}$を求めよ．

【３】　$i$を虚数単位（$i^2=-1$）とし，$\alpha =\sqrt{2}+i$とおく．次の問に答えよ．

(1)　等式${\alpha }^4+a{\alpha }^2+b=0$を満たす実数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}=p{\alpha }^3+q\alpha$を満たす実数$p\text{，}q$を求めよ．

(3)　(1)で求めた$a\text{，}b$に対して，$x$を未知数とする方程式$x^4+a{x}^2+b=0$の解をすべて求めよ．

【４】　放物線$y=x^2$を$C_1\text{，}y=a{x}^2+bx+c\text{（}a\ne 0\text{）}$を$C_2$とする．次の問に答えよ．

(1)　$C_2$上の点$\mathrm{P}(p,a{p}^2+bp+c)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)の$l$が$C_1$と異なる$2$点で交わるとき，$l$と$C_1$で囲まれる図形の面積を求めよ．

(3)　$C_2$上の異なる$3$つの点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3$における$C_2$の接線をそれぞれ$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3$とする．各$l_i\text{（}i=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$と$C_1$が異なる$2$点で交わり$l_i$と$C_1$で囲まれる図形の面積がすべて${\displaystyle \frac{4}{3}}$であるという．$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【１】　$t$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{OC}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$とする．$0<t<1$の$t$に対し，$\mathrm{DC}$を$t^2:1-t^2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{BE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表せ．

(2)　$0<t<1$のどの$t$に対しても$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$に平行にならないことを示せ．

(3)　$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の最小値を求めよ．

【２】　自然数を係数とする$3$次の整式$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$は次の$3$つの条件を満たすとする．

• (1)　$y=f(x)$のグラフは点$(1,9)$を通る．
• (2)　$f(x)$は極大値と極小値をもつ．
• (3)　$y=f(x)$のグラフ上の極大となる点と極小となる点を結ぶ直線の傾き$m$は$m>-1$である．

　このような$f(x)$をすべて求めよ．

【１】　関数$y={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}\cdots \text{①}$について次の問に答えよ．

(1)　$\text{①}$の極値を求め，グラフの概形をかけ．

(2)　原点中心，半径$r$の円周と$\text{①}$のグラフの第$1$象限にある交点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$x=p$とするとき，$\underset{r\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{r}{p}}$を求めよ．

(3)　(2)において，$\mathrm{P}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とし，線分$\mathrm{OH}\text{，}\mathrm{HP}$および$\text{①}$のグラフで囲まれる図形の面積を$S$とする．$\underset{r\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S}{r^2}}$を求めよ．※ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．

【２】　有理数$a\text{，}b$に対して，次の行列を考える．

$M(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 5b& a\end{array}\right)$

(1)　有理数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$に対して

$(a+b\sqrt{5})(c+d\sqrt{5})=p+q\sqrt{5}\text{（}p\text{，}q\text{は有理数）}$

と表したとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$M(a,b)M(c,d)=M(p,q)$

(2)　$a\text{，}b$が$a^2+b^2\ne 0$を満たす有理数のとき，

${\displaystyle \frac{1}{a+b\sqrt{5}}}=r+s\sqrt{5}\text{（}r\text{，}s\text{は有理数）}$

と表せば，次の等式が成り立つことを示せ．

$M{(a,b)}^{-1}=M(r,s)$

(3)　${(1+\sqrt{5})}^n=a_n+b_n\sqrt{5}\text{（}{a}_n\text{，}{b}_n\text{は有理数，}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と表したとき，次の等式が成り立つことを示せ．

$M{(1,1)}^n=M(a_n,b_n)$

専攻別数学選択方法

学校教育教員養成課程

　教育実践科学，社会科学教育専攻　数学$\text{①}$

　理数科学専攻　数学$\text{②}$のみか，数学$\text{③}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

　生活科学専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$のみか，数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

養護学校教員養成課程
　障害児教育専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択

教育カウンセリング課程

　心理臨床専攻　数学$\text{①}$のみか，数学$\text{②}$と$\text{③}$から選択