2004　信州大学　前期　経済，理，医学部MathJax

【１】　座標平面上の$3$点$(0,0)\text{，}(1,1)\text{，}(\alpha ,\alpha +1)$を通る円を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)　円$C$の方程式を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　円$C$の半径が$\sqrt{5}$となるときの$\alpha$の値と円$C$の中心の座標を求めよ．

【２】　$a>0\text{，}a\ne 1$とし，$f(x)={\log }_a(2a+x)+{log}_{a^2}(2a-x)$とおく．このとき閉区間$[-a,a]$における$f(x)$の最大値，最小値を$A={\log }_{a}2$および$B={\log }_{a}3$を用いて表せ．

【３】　解凍を選択肢から$1$つ選ぶ問題が$10$個ある．各問題には選択肢が$4$つあり，その中で正解はただ$1$つである．解答者の$\mathrm{R}$君はまったく勉強していなかったので，$10$題ともそれぞれの選択肢の中からでたらめに$1$つ選ぶとする．次の空欄にあてはまる数を解答欄に記入せよ．

(1)　$\mathrm{R}$君がちょうど$5$個正解を選ぶ確率は${\displaystyle \frac{\boxed{}}{262144}}$である．

(2)　$\mathrm{R}$君が選んだ正解の数が偶数である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{}}{2048}}$である．

(3)　$6$題以上正解を選べば合格とする．このとき，$\mathrm{R}$君が合格する確率は${\displaystyle \frac{\boxed{}}{524288}}$である．

【４】　$▵\mathrm{ABC}$の$3$辺の長さを$a=\mathrm{BC}\text{，}b=\mathrm{CA}\text{，}c=\mathrm{AB}$として次の問いに答えよ．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とするとき，線分$\mathrm{CH}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上に$\mathrm{C}$と異なる点$\mathrm{D}$をとる．$s=\mathrm{BD}\text{，}t=\mathrm{DC}\text{，}\alpha =\angle \mathrm{BAD}\text{，}\beta =\angle \mathrm{DAC}$とおくとき，${\displaystyle \frac{\sin \alpha }{\sin \beta }}$を$b\text{，}c\text{，}s\text{，}t$を用いて表せ．

(3)　$▵\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAM}=\angle \mathrm{EAC}$となる点$\mathrm{E}$をとる．線分$\mathrm{CE}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$を用いて表せ．

【５】　極方程式$r=2(1+\cos \theta )$で表される曲線を$C$とする．$C$は右図のような曲線で心臓形とよばれる．いま，複素数平面の領域$\{z=x+iy|x\geqq 0\}$に曲線$S$があって，点$z=x+iy$が$S$上を動くとき，点$z^2$は心臓形$C$をえがくという．$x\text{，}y$を用いて$S$の方程式を求めよ．

【６】　関数$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x^{2n+1}+x^5+x^3}{x^{2n}+x^2+1}}$について次の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$のグラフをかけ．

(2)　点$(-1,-1)$と点$(1,1)$を結ぶ線分と$y=f(x)$のグラフで囲まれる部分を，直線$y=x$を軸として回転させてできる回転体の体積を求めよ．

【７】　次の問いに答えよ．

(1)　$x>1$のとき，定積分${\displaystyle {\int }_1^x}\log xdx$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対し，$a_n=(n+1)(n+2)\cdots (n+n)$とおく．このとき，極限${\displaystyle \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{(a_n)}^{\frac{1}{n}}}{n}}$の値を求めよ．

【８】　$f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)$の最大値を求めよ．

(2)　定積分${\displaystyle {\int }_1^2}f(x)dx$の値を求めよ．