2004　名古屋大学　前期MathJax

【１】　サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える．ただし，$8$をゴールとしてちょうど$8$の位置へ移動したときにゲームを終了し，$8$をこえた分についてはその数だけ戻る．たとえば，$7$の位置で$3$が出た場合，$8$から$2$戻って$6$へ移動する．なお，サイコロは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．原点から始めて，サイコロを$n$回投げ終えたときに$8$へ移動してゲームを終了する確率を$p_n$とおく．

(1)　$p_2$を求めよ．

(2)　$p_3$を求めよ．

(3)　$p_4$を求めよ．

【２】　$a$を実数とする$f(x)=x^3+a{x}^2+(3a-6)x+5$について以下の問いに答えよ．

(1)　関数$y=f(x)$が極値をもつ$a$の範囲を求めよ．

(2)　関数$y=f(x)$が極値をもつ$a$に対して，関数$y=f(x)$は$x=p$で極大値，$x=q$で極小値をとるとする．関数$y=f(x)$のグラフ上の$2$点$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(q,f(q))$を結ぶ直線の傾き$m$を$a$を用いて表せ．

【３】　$i$を虚数単位とする．$z_1=3$および，漸化式$z_{n+1}=(1+i)z_n+i\text{（}n\geqq 1\text{）}$によって定まる複素数からなる数列$\{z_n\}$について，以下の問いに答えよ．

(1)　$z_n$を求めよ．

(2)　すべての正の整数$m$について，$z_{8m-7}=2^{4m-2}-1$となることを示せ．

(3)　複素数$z_n$が表す複素数平面上の点を${\mathrm{P}}_n$とする．${\mathrm{P}}_n\text{，}{\mathrm{P}}_{n+1}\text{，}{\mathrm{P}}_{n+2}$を$3$頂点とする三角形の面積を求めよ．

【３】(b)　$E$を$2$次の単位行列とする．整数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を成分とする行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$が$A^2=-E\text{，}b+c=0\text{，}b\geqq 0$という条件をみたすとする．また，$B=\sqrt{3}A-E$とおく．

(1)　行列$A$を求めよ．

(2)　$B^n=2^{n}E$をみたす正の整数$n$で最小のものを求めよ．

(3)　正の整数$n$に対して$B^n=p_{n}E+q_{n}A$をみたす実数$p_n$と$q_n$を求めよ．

【１】　サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える．ただし，$8$をゴールとしてちょうど$8$の位置へ移動したときにゲームを終了し，$8$をこえた分についてはその数だけ戻る．たとえば，$7$の位置で$3$が出た場合，$8$から$2$戻って$6$へ移動する．なお，サイコロは$1$から$6$までの目が等確率で出るものとする．原点から始めて，サイコロを$n$回投げ終えたときに$8$へ移動してゲームを終了する確率を$p_n$とおく．

(1)　$p_2$を求めよ．

(2)　$p_3$を求めよ．

(3)　$4$以上のすべての$n$に対して$p_n$を求めよ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とし，実数の組$(x,y,z)$に関する方程式

(ⅰ)　$\{\begin{array}{l}x+y-2z=3a\\ 2x-y-z=3b\\ x-5y+4z=3c\end{array}$および　(ⅱ)　$x^2+y^2+z^2=1$

を考える．

(1)　方程式(ⅰ)が解をもつための$a\text{，}b\text{，}c$に対する条件を求めよ．またそのときの方程式(ⅰ)の解$(x,y,z)$を求めよ．

(2)　方程式(ⅰ)と(ⅱ)がただ一つの共通解をもつとき，その共通解$(x,y,z)$は方程式$2x^2+2xy+2y^2=1$をみたすことを示せ．

【３】　多項式の列$f_n(x)\text{，}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$が，$f_0(x)=2\text{，}{f}_1(x)=x\text{，}$

$f_n(x)=x{f}_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)\text{，}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots$

をみたすとする．

(1)　$f_n(2\cos \theta )=2\cos n\theta \text{，}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots$であることを示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，方程式$f_n(x)=0$の$\left|x\right|\leqq 2$における最大の実数解を$x_n$とおく．このとき，${\displaystyle {\int }_{x_n}^2}{f}_n(x)dx$の値を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{\displaystyle {\int }_{x_n}^2}{f}_n(x)dx$の値を求めよ．

【４】(a)　$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_2$は，半径がそれぞれ$a\text{，}a\text{，}2a$の円とする．いま，半径$1$の円$C$にこれらが内接していて，$C_1\text{，}{C}_2\text{，}{C}_3$は互いに外接しているとき，$a$の値を求めよ．

【４】(b)　正の整数$a$と$b$が互いに素であるとき，正の整数からなる数列$\{x_n\}$を$x_1=x_2=1\text{，}{x}_{n+1}=a{x}_n+b{x}_{n-1}\text{（}n\geqq 2\text{）}$で定める．このときすべての正の整数$n$に対して$x_{n+1}$と$x_n$が互いに素であることを示せ．