2004　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内の$2$点$\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)$に対し，次の条件をみたすように点$\mathrm{C}(x,y,z)$を定める．

(ⅰ)　$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$かつ$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$

(ⅱ)　$\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|=\sqrt{3}$

(ⅲ)　$x\geqq 0$

　次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上で三角形$\mathrm{ABC}$の外接円を考える．この円の半径を求めよ．

【２】　曲線$C:{\displaystyle \frac{x^2}{4}}+y^2=1\text{（}y\geqq 0\text{）}$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\text{，}\mathrm{B}(2,0)$をとる．曲線$C$上の動点$\mathrm{P}(2\sin \theta ,\cos \theta )(-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$に対し，曲線$C$と線分$\mathrm{AP}$とで囲まれる部分の面積を$S_1\text{，}$曲線$C$と線分$\mathrm{BP}$とで囲まれる部分の面積を$S_2$とする．

(1)　$S_1$と$S_2$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　面積の和$S=S_1+S_2$を最小とする点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【３】　関数$f(x)=(x^3-2x-1)e^x$について，次の問に答えよ．

(1)　関数$f(x)$の極値とそのときの$x$の値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}$における接線が原点を通るとき，点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めよ．

(3)　曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

(4)　$x$が$-2\leqq x\leqq 0$の範囲を動くとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2e^{-1},1)\text{，}\overrightarrow{b}=(x,f(x))$なす角が最小となる$x$の値を求めよ．

【４】　定数$k\text{（}0\leqq k\leqq 2\text{）}$に対し，各項が正の実数である$2$つの数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を次のように定める．

$a_1=b_1=1\text{，}$

$a_n=a_{n-1}+k{b}_{n-1}\text{，}{b}_n=a_{n-1}+b_{n-1}\text{（}n=2\text{，}3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$

　次の問に答えよ．

(1)　等式${a_n}^2-k{b_n}^2={(1-k)}^n$を示せ．

(2)　不等式$b_n\geqq n$を示せ．

(3)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{b_n}}$を求めよ．