2004　神戸大学　前期MathJax

【１】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において，対角線$\mathrm{AC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{M}\text{，}$辺$\mathrm{AB}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{L}$とし，$\mathrm{AL}$と$\mathrm{CN}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問に答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{c}\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　$3$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{M}\text{，}\mathrm{D}$が一直線上にあるとき，$t$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の実数とする．関数$f(x)=-x^2+ax$について次の問に答えよ．

(1)　曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{P}(t,f(t))$を通る接線の方程式を$a\text{，}t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{A}(-a,4a^2-5a+2)$から曲線$y=f(x)$へ接線が$2$本引けることを示せ．

(3)　その$2$本の接線のうち接点の$x$座標が大きい方の接線を$l\text{，}$接点を$\mathrm{P}(t,f(t))$とする．このとき，$0<t<a$をみたすための$a$の範囲を求めよ．

(4)　$a=1$のとき，直線$x=-1\text{，}$接線$l$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　初項が$1$で公差が自然数$d$である等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$n\geqq 3$のとき，次の問に答えよ．

(1)　$S_n=94$となる$n$と$d$がちょうど一組ある．その$n$と$d$を求めよ．

(2)　$S_n=98$となる$n$と$d$の組はない．その理由を述べよ．

【１】　行列$A\text{，}B\text{，}C$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}C=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　積$ABC$を計算せよ．

(2)　$BCAB=kB$となる定数$k$を求めよ．

(3)　自然数$n$に対して，${(ABC)}^n$を計算せよ．

【２】　$\alpha =\cos {\displaystyle \frac{360°}{5}}+i\sin {\displaystyle \frac{360°}{5}}$とする．ただし，$i$は虚数単位である．$100$個の複素数$z_1\text{，}{z}_2\text{，}\cdots \text{，}{z}_{100}$を

$z_1=\alpha \text{，}{z}_n={z_{n-1}}^3\text{（}n=2\text{，}\cdots \text{，}100\text{）}$

で定める．次の問に答えよ．

(1)　$z_5$を$\alpha$を用いて表せ．

(2)　$z_n=\alpha$となるような$n$の個数を求めよ．

(3)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{100}}{z}_n$の値を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とする．不等式$a^x\geqq x$が任意の正の実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$t$を正の実数とし，$k$を自然数とする．無限等比級数

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{e}^{-kt(n-1)}$

を考える．次の問に答えよ．

(1)　上の無限級数の和を$f_k(t)$とするとき，それを$t$と$k$を用いて表せ．

(2)　$x>0$のとき，$F_k(x)={\displaystyle {\int }_1^x}{f}_k(t)dt$を計算せよ．

(3)　$x>0$のとき，$\underset{k\to \infty }{\lim }{F}_k(x)$を求めよ．

【５】　次のようなゲームを考える．右のように$1$から$9$の数字が書かれている表を用意する．一方，$9$枚のカードがあり$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれている．これらのカードをよくまぜ，順に並べる．カードを並べた順に見て，カードに書いてある数字を表から消し，かわりに＊印を書き込む．この表で縦，横あるいは斜めのいずれかに＊印が$3$つはじめて並んだ時，その時点で表にある＊印の個数を得点とする．例えば，最初の$4$枚のカードが，順に$5\text{，}4\text{，}6\text{，}9$であれば，以下のように変化する．

• ＊	$2$	$8$
  $1$	$9$	$3$
  $7$	$4$	$6$

• ＊	$2$	$8$
  $1$	$9$	$3$
  $7$	＊	$6$

• ＊	$2$	$8$
  $1$	$9$	$3$
  $7$	＊	＊

• ＊	$2$	$8$
  $1$	＊	$3$
  $7$	＊	＊

その結果，＊がはじめて$3$つ並んだ．このとき，得点は$4$である．次の問に答えよ．

(1)　このゲームで起こり得る最小の得点を求めよ．また，得点が最小となる確率を求めよ．

(2)　このゲームで起こり得る最大の得点を求めよ．また，得点が最大となる確率を求めよ．