2004　岡山大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,1)\text{，}\mathrm{B}(2,4)$をとる．放物線の$\mathrm{A}$における接線を$l$とする．線分$\mathrm{AB}$上に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$l$と交わる点を$\mathrm{Q}$とし，放物線と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$l$の方程式を求めよ．

(2)　$\mathrm{QR}:\mathrm{RP}=\mathrm{AP}:\mathrm{PB}$であることを示せ．

【２】　定数$a$は，$0<a<1$を満たすものとする．空間に，次の$3$つのグループからなる$12$点をとる．

$\mathrm{X}=\{(1,a,0),(1,-a,0),(-1,a,0),(-1,-a,0)\}$

$\mathrm{Y}=\{(0,1,a),(0,1,-a),(0,-1,a),(0,-1,-a)\}$

$\mathrm{Z}=\{(a,0,1),(-a,0,1),(a,0,-1),(-a,0,-1)\}$

　これらの$12$点から異なる$2$点を選ぶ選び方は

(ア)　同一グループ内の$2$点となる場合

(イ)　異なるグループから$1$点ずつの$2$点となる場合

の$2$種類に分けられる。このとき，次の問いに答えよ．

(1)　(ア)，(イ)それぞれの場合の数を求めよ（答のみでよい）．

(2)　(ア)の場合，$2$点間の距離が最小となる選び方は何通りあるか．また，その距離を求めよ．

(3)　(イ)の場合，$2$点間の距離が最小となる選び方は何通りあるか．また，その距離を求めよ．

(4)　(2)で求めた距離と(3)で求めた距離が等しくなるように$a$の値を求めよ．また，そのとき選んだ$2$点の位置ベクトルのなす角を$\theta$として，$\cos \theta$の値を求めよ．ただし，位置ベクトルは原点$\mathrm{O}$を基準とする．

【３】　数列$\{a_n\}$を$a_n=n^2+1$で定め，数列$\{b_n\}$を$b_n=3n^2+3$で定める．これら$2$つの数列の項を小さい順に並べてできる新しい数列を$\{c_n\}$とする．たとえば，初めの$3$項は，$c_1=2\text{，}{c}_2=5\text{，}{c}_3=6$となっている．このうち，$\{a_n\}$から来る項は$c_1=a_1\text{，}{c}_2=a_2\text{，}\{b_n\}$から来る項は$c_3=b_1$である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$c_4\text{，}{c}_5\text{，}{c}_6$を求めよ．

(2)　$n=3k\text{，}3k-1\text{，}3k-2$（$k$は自然数）の場合に分けて考えることにより，$a_n$は$3$の倍数ではなく，したがって$a_n$は$\{b_n\}$のどの項とも一致しないことを示せ．

(3)　$\{c_n\}$において，$\{b_n\}$から来る項は連続して$2$個以上並ばないことを，背理法を用いて表せ．

【４】　$z$を$0$でない複素数とする．

(1)　$z$の絶対値を$r\text{，}$偏角を$\theta \text{（}0°\leqq \theta <360°\text{）}$とするとき，${\displaystyle \frac{z}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{z}}$が実数となるような$r$と$\theta$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \frac{z}{4}}+{\displaystyle \frac{4}{z}}$が実数で，その値が$0$以上$4$以下であるような点$z$はどのような図形を描くか．複素数平面上に図示せよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{2}}\end{array}\right)$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3\text{，}{A}^6$を求めよ（答のみでよい）．

(2)　$A^n=xA$を満たすような$1$より大きい最小の整数$n$と実数$x$を求めよ．

(3)　$A^{120}$を求めよ．

【２】　数列$\{a_n\}$は次のように定められている．

$a_1=1\text{，}{a}_{n+1}(a_n+1)=1\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

このとき，次の問いに答えよ．

(1)　${a_{n+1}}^2+a_{n+1}-1$を$a_n$を用いて表せ．

(2)　数列$\{b_n\}$を$b_n={a_n}^2+a_n-1$で定める．このとき，$b_{2n-1}$は正，$b_{2n}$は負であることを示せ．

(3)　数列$\{a_n\}$について，不等式

$a_{2n}<{\displaystyle \frac{-1+\sqrt{5}}{2}}<a_{2n-1}$

が成り立つことを示せ．

【３】　次の条件(a)，(b)をともに満たす実数の組$(p,q,r)$をすべて求めよ．

(a)　$p\text{，}q\text{，}r$の絶対値は等しい．

(b)　$3$次方程式$x^3+p{x}^2+qx+r=0$は，絶対値が$1$であるような虚数解をもつ．

【４】　座標空間に定点$\mathrm{A}(1,0,0)$をとる．点$\mathrm{P}(x,y,z)$から$yz$平面へ下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．$k>1$である定数$k$に対して，$\mathrm{PH}:\mathrm{PA}=k:1$を満たす点$\mathrm{P}$全体からなる図形を$S$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S$の点$\mathrm{P}$と$x$軸との距離の最大値を求めよ．

(2)　$S$のうちで，$y\geqq 0$かつ$z=0$を満たす部分を$C$とする．$S$は$C$を$x$軸のまわりに$1$回転させて得られる図形であることを示せ．

(3)　$S$で囲まれる立体の体積を求めよ．