2004　広島大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を実数とする．$x$の方程式$4^x+a\times 2^{x+1}+b=0$について，次の問いに答えよ．

(1)　$a=-1\text{，}b=-3$のときの解を求めよ．

(2)　この方程式が異なる$2$つの実数解をもつような点$(a,b)$全体の集合を，座標平面上に図示せよ．

【２】　$-180°<x<180°$とする．$c$を実数とする．$x$の方程式

(＊)　$\sin x+\sqrt{3}\cos x+c=0$

について，次の問いに答えよ．

(1)　(＊)を$\sin (x+A)=B$の形で表せ．また，$c=\sqrt{3}$のとき，$x$の値を求めよ．

(2)　(＊)が異なる$2$つの解$\alpha \text{，}\beta$をもつための$c$の条件を求めよ．

(3)　$\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}=t$とおくとき，

$\sin x={\displaystyle \frac{2t}{1+t^2}}\text{，}\cos x={\displaystyle \frac{1-t^2}{1+t^2}}$

を示せ．さらに，(＊)を$t$についての$2$次方程式で表せ．

(4)　(2)の条件のもとで，$\tan {\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}$の値を求めよ．

【３】　平行四辺形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{OD}$と対角線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{E}$とする．次の問いに答えよ．

(1)　公式$\overrightarrow{\mathrm{OD}}={\displaystyle \frac{n\overrightarrow{\mathrm{OA}}+m\overrightarrow{\mathrm{OB}}}{m+n}}$を証明せよ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}\text{，}m\text{，}n$を用いて表せ．

(3)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を$xy$平面上の点とし，$3$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$の座標を$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)\text{，}\mathrm{C}(a,b)$とする．ただし，$a\text{，}b$は正の数とする．$m=1\text{，}n=2$のとき，$2$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{D}$を通る直線の方程式を求めよ．

(4)　(3)の条件のもとで，点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{OD}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(補足説明)「点$\mathrm{C}$から線分$\mathrm{OD}$に下ろした垂線の足$\mathrm{H}$」とは，点$\mathrm{C}$からひいた線分$\mathrm{OD}$への垂線と線分$\mathrm{OD}$との交点$\mathrm{H}$のことである．

【４】　$f(x)=x^2-4x+5$とする．$p<2<q$とし，放物線$y=f(x)$上の$2$点$\mathrm{P}(p,f(p))\text{，}\mathrm{Q}(q,f(q))$における接線を，それぞれ$l\text{，}m$とする．$l$と$m$は点$\mathrm{R}({\displaystyle \frac{5}{2}},r)$で交わり，それぞれの傾きを$a\text{，}b$とするとき，

$2a+b=0$

を満たすものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p\text{，}q\text{，}r$を求めよ．

(2)　接線$l\text{，}m$の方程式を求めよ．

(3)　放物線$y=f(x)$と$2$つの接線$l\text{，}m$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

【５】　$1\text{，}2\text{，}3\text{，}4\text{，}5$の数字を書いた$5$枚のカードがある．この$5$枚のカードを並べて$5$けたの数を作るとき，次の問いに答えよ．

(1)　偶数となる並べ方は何通りあるか．また，奇数となる並べ方は何通りあるか．

(2)　$5$枚のカードをよく切って並べたとき，それが$54321$とちょうど$3$つの位で一致する確率を求めよ．

(3)　$5$枚のカードをよく切って並べたとき，それが$54321$とちょうど$2$つの位で一致する確率を求めよ．

(4)　$5$枚のカードを並べた数が，$54321$と一致したときに$6$万円，$54321$とちょうど$3$つの位で一致したときに$6$千円，$54321$とちょいうど$2$つの位で一致したときに$600$円もらえるものとする．これらの場合以外は何ももらえないものとする．$5$枚のカードをよく切って並べる$1$回の試行での期待金額を求めよ．

(補足説明) (2)「それが$54321$とちょうど$3$つの位で一致する」とは，たとえば，$\text{“}\underset{\_}{5}2\underset{\_}{3}4\underset{\_}{1}\text{”}$は$54321$とちょうど$3$つの位で一致するが，$\text{”}\underset{\_}{54321}\text{”}$は$54321$とちょうど$3$つの位で一致するとは言わない．(3)・(4)においても同等の意味とする．

【１】　複素数平面上で不等式

$2|z-2|\leqq |z-5|\leqq |z+1|$

を満たす点$z$が描く図形を$D$とする．

(1)　$D$を図示せよ．

(2)　点$z$が$D$上を動くものとする．$\arg z=\theta$とするとき，$\tan \theta$の値のとりうる範囲を求めよ．

(3)　$D$の面積を求めよ．

【２】　次の問いに答えよ．

(1)　点$(3,3)$における円$x^2+y^2-4x-2y=0$の接線の方程式を求めよ．

(2)　次の連立不等式の表す領域を図示せよ．

$\{\begin{array}{l}{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-3)\geqq {\log }_{\frac{1}{2}}y\\ {\log }_2(x^2+y^2-4x-2y+5)\leqq {\log }_{2}5\end{array}$

(3)　$a$を正の数とする．点$(x,y)$が(2)で求めた領域を動くとき，$ax+y$の最大値が$4$になるように$a$の値を定めよ．

【３】　$X\text{，}Y$はともに実数を成分とする$2$次の正方行列で

$\{\begin{array}{l}2X-Y=E\\ XY=O\end{array}$

を満たしているものとする．ただし，$E\text{，}O$は，それぞれ$2$次の単位行列，零行列とする．$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$X$が逆行列をもつとき，$X\text{，}Y$を求めよ．

(2)　$X$が逆行列をもたないとき，$(2a+2d-1)X$を求めよ．

(3)　$X$は零行列でなく，かつ$X$が逆行列をもたないとき，$a$と$d$を$b\text{，}c$で表せ．ただし，$b\text{，}c$は$bc\leqq {\displaystyle \frac{1}{16}}$を満たすものとする．

【４】　$A$を正の定数，$\theta$は$0\leqq \theta \leqq \pi$を満たす実数とし，$2$つの曲線

$y=A\cos x\text{，}y=\sin (x-\theta )\text{（}0\leqq x\leqq 2\pi \text{）}$

によって囲まれた図形の面積を$S$とする．また，この$2$つの曲線の交点の$x$座標を$a\text{，}b\text{（}a<b\text{）}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos b\sin (a-\theta )=\cos a\sin (b-\theta )$が成り立っているとき，

$\cos \theta \sin (b-a)=0$

を示せ．

(2)　$b-a=\pi$を示せ．

(3)　$S$を$A\text{，}a\text{，}\theta$を用いて表せ．

(4)　$S^2$を$A\text{，}\theta$を用いて表せ．

(5)　$S$を最大にする$\theta$の値およびそのときの$S$の値を求めよ．

【５】　円周を$5$等分して図のように$0$から$4$の目盛りをふる．初めに点$\mathrm{P}$を目盛り$0$の位置に置く．硬貨を$1$回投げるごとに，

表が出れば，点$\mathrm{P}$を右回りに$2$目盛り動かし，

裏が出れば，点$\mathrm{P}$を左回りに$1$目盛り動かす

という操作をくり返し行う．硬貨を$n$回投げたあと，点$\mathrm{P}$が目盛り$i$の位置にある確率を$p_n(i)$と表す．

(1)　$p_2(1)\text{，}{p}_3(2)\text{，}{p}_3(3)$を求めよ．

(2)　硬貨を$4$回投げて，点$\mathrm{P}$がはじめて目盛り$2$の位置で止まる確率を求めよ．

(3)　$p_{n+1}(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\{p_n(3)+p_n(1)\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を示せ．

(4)　$z$を$z^5=1$を満たす複素数とする．すべての自然数$n$に対して，

${\displaystyle \sum _{i=0}^4}{p}_n(i)z^i={\displaystyle \frac{{(z^2+z^{-1})}^n}{2^n}}$

が成り立つことを示せ．