2004　広島大学　後期MathJax

【１】　平面上の三角形の頂点を$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$とおく．また，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす$\theta$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(\cos \theta )\overrightarrow{a}+(\sin \theta )\overrightarrow{b}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AB}$を$\sin \theta :\cos \theta$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\theta$を用いて表せ．

(2)　$\sin \theta +\cos \theta >1$を示せ．これより，線分$\mathrm{AB}$と線分$\mathrm{OP}$が交わることを説明せよ．

(3)　三角形$\mathrm{OAB}$と四角形$\mathrm{OAPB}$の面積比を$\theta$を用いて表せ．

(4)　四角形$\mathrm{OAPB}$の面積が最大になるときの$\theta$の値を求めよ．

【２】　$a_n\text{，}{b}_n$を実数，$i$を虚数単位として，複素数の列

$z_n=a_n+i{b}_n\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を考える．$z_n$とその共役な複素数$\overline{z_n}=a_n-i{b}_n$が

$z_{n+1}=2i{z}_n+\sqrt{3}\overline{z_n}\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$，

$z_0=\sqrt{2}+i\sqrt{6}$

を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_{n+1}$を$a_n$と$b_n$で表せ．また，$b_{n+1}$を$a_n$と$b_n$で表せ．

(2)　$z_n$を求めよ．

(3)　複素数平面上で，$z_n$と原点$\mathrm{O}$を結ぶ線分が実軸の正の部分となす角${\theta }_n$を求めよ．

【３】　$\mathrm{HIROSHIMA}$の$9$個の文字がある．

(1)　$9$個の文字全部を$1$列に並べる方法は何通りあるか．

(2)　$9$個の文字から$4$個の文字を選ぶとき，子音$2$個，母音$2$個である選び方は何通りか．

(3)　$9$個の文字全部をでたらめに$1$列に並べるとき，子音の文字が隣りあわない確率を求めよ．

(4)　$9$個の文字全部を$1$列に並べたとき，二つの$\mathrm{H}$にはさまれた文字の個数が$i$個のとき，その文字列に与えられる点数を$i$とする．$9$個の文字全部をでたらめに$1$列に並べたとき，その文字列の点数の期待値を求めよ．

【４】　$x$軸上の定点$\mathrm{A}(a,0)$から曲線$y=x{e}^{-x}$に接線が$2$本引けるとき，これらの接線を$l\text{，}m$とし，$l$の接点を$\mathrm{B}(b,b{e}^{-b})\text{，}m$の接点を$\mathrm{C}(c,c{e}^{-c})$とする．ただし，$b<c$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　$b$を$a$の関数で表せ．さらに，$a\to \infty$のとき，$b$の極限値を求めよ．

【５】　$t$の関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{(e^t\cos x+e^{-t}\cos 3x+1)}^{2}dx$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$\cos x\cos 3x={\displaystyle \frac{1}{2}}(\cos 2x+\cos 4x)$を示せ．

(2)　${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{\cos }^{2}xdx\text{，}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }}\cos x\cos 3xdx$を求めよ．

(3)　$f(t)$を求めよ．

(4)　${\displaystyle {\int }_0^1}tf(t)dt$を求めよ．

【１】　$A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 2& -3\end{array}\right)$を$2$次正方行列とする．次の問に答えよ．

(1)　零ベクトルでない$2$つの列ベクトル$\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$と$\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right)$が互いに平行であるための必要十分条件は$ad-bc=0$であることを示せ．

(2)　大きさが$1$つの列ベクトル$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$で，行列$A$との積$A\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$と平行になるものを$1$つ求めよ．

(3)　$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$を零ベクトルでなく，(2)の$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$と平行でない列ベクトルとする．このとき，$A\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$は零ベクトルでないことを示せ．さらに，$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$と平行になることを示せ．

【２】　座標空間において，$\alpha$を原点$\mathrm{O}$を含まない平面とし，四角形$\mathrm{ABCD}$を$\alpha$上の$\mathrm{AB}⫽\mathrm{DC}$かつ$\mathrm{AD}⫽\mathrm{BC}$となる平行四辺形とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$と表すとき，次の問に答えよ．

(1)　$\mathrm{E}$を直線$\mathrm{OD}$上の点で，線分$\mathrm{OE}$の中点が$\mathrm{D}$となるものとする．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．

(2)　$t$を$0<t<1$なる実数とする．線分$\mathrm{CE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$三角形$\mathrm{OAB}$の重心を$\mathrm{G}$とする．直線$\mathrm{FG}$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$を用いて表せ．ただし，$\mathrm{P}$が$\alpha$上にあるとき

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=r\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(1-r-s)\overrightarrow{c}$

と表されることを用いてよい．

(3)　点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の座標をそれぞれ$(1,-1,-1)\text{，}(2,1,4)\text{，}(3,-2,2)$とする．(2)において$t$の値が${\displaystyle \frac{1}{3}}$から${\displaystyle \frac{2}{3}}$まで動くとき，点$\mathrm{P}$はどのような図形を描くか．

【３】　半径$1$の円において，中心角$4\theta$の弦の長さを$a\text{，}$弧の長さを$L$とし，中心角$2\theta$の弦の長さを$b$とする．$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}L$をそれぞれ$\theta$の関数で表せ．

(2)　不等式$2b<L<{\displaystyle \frac{6b-a}{2}}$を示せ．

(3)　$A_n={\displaystyle \frac{2(n+1)b-a}{n}}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$A_n$が$L$に最も近い$n$の値を求めよ．

【４】　$a\text{，}b\text{，}c$を実数とする．

$\{\begin{array}{ll}{a}_1=a\text{，}& \\ a_2=b\text{，}& \\ a_{n+2}={\displaystyle \frac{a_{n+1}+a_n+c}{2}}& \text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

で定められた数列$\{a_n\}$について，次の問に答えよ．

(1)　すべての自然数$n$について，$a_n=2n$が成り立つような$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　$c=0$とするとき，一般項$a_n$および$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$を$a$と$b$を用いて表せ．

【５】　平面上の格子点$(i,j)\text{（}i\text{，}j=0\text{，}\pm 1\text{，}\pm 2\text{，}\cdots \text{）}$上を動く点$\mathrm{B}$を考える．最初，$\mathrm{B}$は原点$(0,0)$にある．大小$2$つのサイコロを同時に投げて，その目に応じて点$\mathrm{B}$は次のように移動する．

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$2$つのサイコロを$2$回続けて投げたとき，$\mathrm{B}$が$(0,2)$に移動する確率を求めよ．

(2)　$2$つのサイコロを$6$回続けて投げたとき，$\mathrm{B}$が$(0,0)$にもどる確率を求めよ．

(3)　$2$つのサイコロを$6$回続けて投げたとき，$\mathrm{B}$が集合$\{(i,j)|i\geqq 2\text{，}j=0\}$に属する確率を求めよ．