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2004 九州大学 前期

文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  2 つの関数

が与えられていて,放物線 y= f(x ) 2 ( -3 2,0 ) ( 32 ,0 ) を通るとする.

(1)  p の値を求めよ.

(2)  y=f (x) y= g(x ) の交点をすべて求めよ.

(3) (2)で求めた交点のうち, x 座標が最小となる点を A (a, f(a )) とする.このとき,点 A における y= f(x ) の接線 y= h(x ) を求めよ.また,この接線 y= h(x ) y= g(x ) の,点 A とは異なる,交点 B (b, g(b )) を求めよ.

(4) 次の連立不等式の定める図形の面積を求めよ.

ax b yh (x) yf (x) yg (x)

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文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】 複素数平面上に複素数 z=cos θ+i sinθ 0° <θ<180 ° をとり, α=z +1 β =z-1 とおく.

(1)  |β |=2 sin ( θ 2 ) を示せ.

(2)  argβ= θ 2+ 90° を示せ.ただし, 0° argβ< 360° とする.

(3)  θ=60 ° とする. 9 つの複素数 α mβ n m n=1 2 3 の虚部の最小値を求め,その最小値を与える (m ,n) のすべてを決定せよ.

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文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

易□ 並□ 難□

【3】  0<α <1 0< β<1 とする.平行四辺形 ABCD の辺 BC α :1-α に内分する点を P とし,辺 CD 1- β:β に内分する点を Q とする.また,線分 QP と平行四辺形の対角線 AC の交点を R とする. AB =a AD = b として次の問いに答えよ.

(1) ベクトル AP AQ a b を用いて表せ.

(2) 長さの比 QRRP および ARAC を求めよ.

(3)  AB=2 AD=1 DAB=60 ° とするとき, AQR の面積を求めよ.

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文系(文,教育,法,経済(経済,

経営),医(看護))

配点50点

理系【5】の類題

易□ 並□ 難□

【4】 スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に 6 個並んでいる.これらの 6 個の電球のスイッチを同時に入れたあと,左から電球の色を見ていき,色の変化の回数を調べる.

(1) 赤青青青青青,赤赤青青青青,…のように左端が赤色で色の変化がちょうど 1 回起きる確率を求めよ.

(2) 色の変化が少なくとも 2 回起きる確率を求めよ.

(3) 色の変化がちょうど n 回( 0n 5 )起きる確率を求めよ.

(4) 色の変化の回数の期待値を求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【1】  n=0 1 2 に対して

In= (-1) nn ! 02 xn ex dx

とおく.ただし, 0!=1 とする.

(1)  I0 の値を求め, n=1 2 のとき In I n-1 の関係式を求めよ.また,これらを用いて I3 の値を求めよ.

(2)  0x 2 に対して ex e2 であることを利用して,次の不等式を示せ.

1 n! 02 x ne xdx 2 e2 ( 23 ) n-1 n= 1 2

(3) 極限 lim n k= 0n ( -1) k2 kk! を求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

医(医,生命科学,保健(放射線技術,

検査技術))歯,薬学部)

配点50点

易□ 並□ 難□

【2】  2 次の正方行列

A=( a bb a )

に対して,次の問いに答えよ.ただし, a b は定数とする.

(1)  (a+ b)4 (a- b)4 を展開せよ.

(2)  A4 ( a+b) 4 ( a-b) 4 を用いて表せ.

(3) 自然数 n に対して, An を求めよ.

(4)  0<a< 1 とし b= 1-a としたときの An (1, 1) 成分を x n とする.極限 lim n x n を求めよ.

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検査技術))歯,薬学部)

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易□ 並□ 難□

【3】 座標平面上を動く点 P( x(t) ,y(t )) の時刻 t における座標が

{ x( t)=cos ( t+ π4 ) y( t)=cos (2t ) 0 t<2 π

で与えられているとし,この点の軌跡を C とする.

(1)  P が原点を通るときの速度ベクトルを求めよ.

(2)  P x 軸, y 軸に関して対称であることを示せ.

(3)  C の概形を描け.

(4)  C が囲む図形の面積を求めよ.

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【4】 座標空間内の三角柱

0x 1 0y 1 xy 0z 1

を考え,その xy 平面内の面を S xz 平面内の面を T とする.点 A (a, b,0) S 内に,点 B (c, 0,d ) T 内にとり,また C (1, 1,1 ) とする.ただし,点 A B は原点 O とは異なるとする.

(1) ベクトル OA および OC に直交する単位ベクトルを求め,その単位ベクトルとベクトル OB の内積の絶対値を求めよ.

(2) 四面体 OABC の体積を求めよ.ただし,点 O A B C は同一平面上にないとする.

(3) 点 A S 内を,点 B T 内を動くとする.このときの,四面体 OABC の体積の最大値,および最大値を与える点 A B の位置をすべて求めよ.

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理系(経済(経済工),工,芸術工,農,

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検査技術))歯,薬学部)

配点50点

文系【4】の類題

易□ 並□ 難□

【5】  n 3 以上の自然数とする.スイッチを入れると等確率で赤色または青色に輝く電球が横一列に n 個並んでいる.これらの n 個の電球のスイッチを同時に入れたあと,左から電球の色を見ていき,色の変化の回数を調べる.

(1) 赤青…青,赤赤青…青,…のように左端が赤色で色の変化がちょうど 1 回起きる確率を求めよ.

(2) 色の変化が少なくとも 2 回起きる確率を求めよ.

(3) 色の変化がちょうど m 回( 0 mn- 1 )起きる確率を求めよ.

(4) 色の変化の回数の期待値を求めよ.

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