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2004-11001-0101
2004 札幌医科大学 前期
易□ 並□ 難□
【1】 n を 2 以上の整数とする. 1 ,2 ,3 のうちから重複を許して選んだ n 個の数の順列 x 1, x2 , ⋯, xn で
xi⁢ xi+ 1≦- xi+ xi+ 1+3 , i=1 ,2 ,⋯ ,n-1
を満たすもの全体を考える.このような順列のうち,
とする.このとき, an> bn ,bn =cn を示せ.
2004-11001-0102
【2】 α を 0 とは異なる複素数とし,その共役複素数を α ‾ と書く.
(1) 複素数平面上において三点, α ,α‾ , 1α はどの二点も異なり,かつ,この三点は一直線上にないとする.このとき点 α が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.
(2) 複素数平面上において点 α は(1)で求めた範囲を動き,さらに三点 α , α‾ , 1 α を頂点とする三角形の内部(周は除く)に点 1 を含むとする.このとき,点 α が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.
2004-11001-0103
【3】 a ,b は実数とする.すべての負の実数 x に対して
log⁡ 2⁢a⁢ x1+ x2 ≦ 2⁢b⁢ x1+ x2
が成り立つような (a, b) の範囲を ab 平面上に図示せよ.ここで対数は自然対数とする.
2004-11001-0104
【4】 次のような直円柱 K と三角形 ABC を考える.
直円柱 K は底面の円の半径が 1 , 高さが 2 である.三角形 ABC は AB= AC の二等辺三角形であり,辺 BC の中点を M , AM=MC =2 とする.また点 D ,E はそれぞれ辺 AB ,AC 上を AD= AE を保ちながら動くとする.
三角形 ABC を直円柱 K の側面に辺 AM が母線,辺 BC が底面の周の一部分となるようにはり,線分 DE が通過してできる曲面によりこの直円柱を二つの立体に分ける(右上図参照).このとき,点 M を含むほうの立体の体積を求めよ.