2004　札幌医科大学　前期MathJax

【１】　$n$を$2$以上の整数とする．$1\text{，}2\text{，}3$のうちから重複を許して選んだ$n$個の数の順列$x_1\text{，}{x}_2\text{，}\cdots \text{，}{x}_n$で

$x_i{x}_{i+1}\leqq -x_i+x_{i+1}+3\text{，}i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n-1$

を満たすもの全体を考える．このような順列のうち，

• $x_n=1$である順列の個数を$a_n\text{，}$
• $x_2=2$である順列の個数を$b_n\text{，}$
• $x_n=3$である順列の個数を$c_n$

とする．このとき，$a_n>b_n\text{，}{b}_n=c_n$を示せ．

【２】　$\alpha$を$0$とは異なる複素数とし，その共役複素数を$\bar{\alpha }$と書く．

(1)　複素数平面上において三点，$\alpha \text{，}\bar{\alpha }\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$はどの二点も異なり，かつ，この三点は一直線上にないとする．このとき点$\alpha$が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

(2)　複素数平面上において点$\alpha$は(1)で求めた範囲を動き，さらに三点$\alpha \text{，}\bar{\alpha }\text{，}{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$を頂点とする三角形の内部（周は除く）に点$1$を含むとする．このとき，点$\alpha$が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ．

【３】　$a\text{，}b$は実数とする．すべての負の実数$x$に対して

$\log {\displaystyle \frac{2ax}{1+x^2}}\leqq {\displaystyle \frac{2bx}{1+x^2}}$

が成り立つような$(a,b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．ここで対数は自然対数とする．

【４】　次のような直円柱$K$と三角形$\mathrm{ABC}$を考える．

　直円柱$K$は底面の円の半径が$1\text{，}$高さが$2$である．三角形$\mathrm{ABC}$は$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$の二等辺三角形であり，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{AM}=\mathrm{MC}=2$とする．また点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$はそれぞれ辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$上を$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}$を保ちながら動くとする．

　三角形$\mathrm{ABC}$を直円柱$K$の側面に辺$\mathrm{AM}$が母線，辺$\mathrm{BC}$が底面の周の一部分となるようにはり，線分$\mathrm{DE}$が通過してできる曲面によりこの直円柱を二つの立体に分ける（右上図参照）．このとき，点$\mathrm{M}$を含むほうの立体の体積を求めよ．