2004　東京都立大　前期MathJax

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$がある．辺$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{CA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{Q}\text{，}$線分$\mathrm{AP}$と線分$\mathrm{BQ}$の交点を$\mathrm{S}$とする．直線$\mathrm{CS}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表わせ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AS}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表わせ．

(3)　$\mathrm{R}$は$\mathrm{AB}$をどのように内分するか．

【２】　実数$a$に対し$S(a)={\displaystyle {\int }_0^1}x|x-a|dx$とおく．

(1)　$S(a)$を求めよ．

(2)　$S(a)$の最小値を求めよ．

【３】(1)　点$(a,b)$を中心とし，直線$y=3$に接する円の方程式を求めよ．ただし$b<3$とする．

(2)　直線$y=3$に接し，円${(x-1)}^2+y^2=1$に外接する円の中心の軌跡を求めよ．

(3)　(2)で求めた軌跡と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　大，中，小$3$個のサイコロを投げて，出た目がそれぞれ$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$のとき整数

$n=100a_1+10a_2+a_3$

を考える．

(1)　$n$が偶数となる場合の数を求めよ．

(2)　$n$が$4$の倍数となる場合の数を求めよ．

(3)　$n$が$6$の倍数である確率を求めよ．

(4)　この操作を$5$回行ったとき，得られる$5$つの整数がすべて偶数で，そのうち$2$つのみが$6$の倍数である確率を求めよ．

【１】　正の整数$n$に対して，

$F_n(t)={\displaystyle \frac{t^n-{\displaystyle \frac{1}{t^n}}}{t-{\displaystyle \frac{1}{t}}}}$

とおく．

(1)　$n>1$に対して$F_n(t)(t+{\displaystyle \frac{1}{t}})$を$F_{n+1}(t)$と$F_{n-1}(t)$で表せ．

(2)　$x=t+{\displaystyle \frac{1}{t}}$とおくとき，$F_n(t)=f_n(x)$となる多項式$f_n(x)$が存在することを証明せよ．また，$f_1(x)\text{，}{f}_2(x)\text{，}{f}_3(x)$を求めよ．

(3)　$f_n(0)$を求めよ．

(4)　$t=\cos \theta +i\sin \theta$とおくことにより，等式

$f_n(2\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$

が成立することを証明せよ．

【２】　座標平面において，$A$を不等式$x^2+3y^2\leqq 4$の表す領域とし，$B$を不等式$3x^2+y^2\leqq 4$の表す領域とする．

(1)　$A\text{，}B$のどちらか一方のみに含まれる点$(x,y)$全体の定める図形の面積を求めよ．

(2)　$A\cap B$の定める図形の面積を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正四面体の辺の上を点$\mathrm{P}$が次の条件(a)，(b)，(c)を満たしながら運動する．

(a)　$\mathrm{P}$は時刻$0$においてある頂点${\mathrm{P}}_0$にいる．

(b)　$\mathrm{P}$は$1$秒間に$1$の速さで辺の上を直進する．

(c)　頂点に達したときには，いま来た辺を引き返さず，他の$2$辺のうちのいずれかを確率${\displaystyle \frac{1}{2}}$で選んで進む．

　このとき次の問いに答えよ．

(1)　出発して$3$秒後に$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0$に来る確率を求めよ．

(2)　$3$秒後から$7$秒後までの間に$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0$を$2$回通過する確率を求めよ．ただし，ちょうど$7$秒後に$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0$に到達するときも$\mathrm{P}$は${\mathrm{P}}_0$を通過するということにする．

(2)　$n$を自然数とする．$3$秒後から$3n+1$秒後までの間に$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0$を$n$回通過する確率を求めよ．ただし，ちょうど$3n+1$秒後に$\mathrm{P}$が${\mathrm{P}}_0$に到達するときも$\mathrm{P}$は${\mathrm{P}}_0$を通過するということにする．

【１】　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$を考える．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．

(1)　$\mathrm{P}$を$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面上の点とする．このとき$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は，

$s+t+u=1$

をみたす実数$s\text{，}t\text{，}u$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$

と表されることを示せ．

(2)　以下，$6$辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}\text{，}\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ$\sqrt{10}\text{，}4\text{，}2\text{，}6\text{，}2\sqrt{7}\text{，}4$とする．内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}\text{，}\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{a}$の値を求めよ．

(3)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面に点$\mathrm{O}$から下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}+z\overrightarrow{c}$

を満たす実数$x\text{，}y\text{，}z$を求めよ．

【２】　座標平面上の点$\mathrm{A}$を$(0,{\displaystyle \frac{4}{5}})$とする．$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は円$x^2+y^2=1$上を動き，線分$\mathrm{BC}$は点$\mathrm{A}$を通るものとする．ただし点$\mathrm{B}$の$x$座標は正，点$\mathrm{C}$の$x$座標は負であるとする．さらに$2$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る直線の傾きを$m$とする．また点$\mathrm{D}$を$(0,-1)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$\mathrm{B}$の$x$座標を$m$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{BCD}$の面積$S(m)$を求めよ．

(3)　$S(m)$が最大となるときの$m$の値を求めよ．

【３】　座標平面において，点$(a,0)\text{（}a>0\text{）}$を頂点の一つとし，原点を中心とする正方形を$S$とする．ただし正方形の中心とは対角線の交点である．また$\theta$を$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数とする．

(1)　原点を通り$x$軸と角度$\theta$で交わる直線と$S$の辺との交点を頂点の一つとし，原点を中心とする正方形を$S_1$とする．$S_1$の一辺の長さ$a_1$を求めよ．

(2)　原点を通り$x$軸と角度$2\theta$で交わる直線と$S_1$の辺との交点を頂点の一つとし，原点を中心とする正方形を$S_2$とする．以下同様にして，原点を通り，$x$軸と角度$n\theta$で交わる直線と$S_{n-1}$の辺との交点を頂点の一つとし，原点を中心とする正方形を$S_n$とする．$S_n$の一辺の長さ$a_n$を求めよ．

(3)　正方形$S_1\text{，}\cdots \text{，}{S}_n$の面積の和を$A_n$とするとき，極限値$A=\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$を求めよ．